Contrôle du flux de commandes

Logiciels Scientifiques (Statistiques)
Licence 2 Mathématiques Générales
Feuille n◦ 2 : Contrôle du flux de commandes
Exercice 1. Vente de voiture
Mathieu décide de s’acheter une voiture neuve qui coûte 12 000 euros. Le vendeur lui propose
deux options d’achat :
1. soit Mathieu paye la voiture cash directement auquel cas il ne paiera que 11 000 euros—soit
1 000 euros de remise ;
2. soit Mathieu a recours au prêt à taux 0 du concessionnaire qui consiste en 48 mensualités
de 250 euros.
Du fait de l’option 1, le prix de la voiture est en fait 11 000 euros et le prêt de l’option 2 n’est
donc pas réellement à taux 0 mais à un taux τ > 0. Notre but va être de le calculer.
En utilisant la formule de l’exercice 1 du cours, nous savons que
11000 = 250
1 − (1 + τ )−48
1 − (1 + τ )−48
⇐⇒ τ = 250
.
τ
11000
Cette dernière équation est un problème du point fixe, i.e., résoudre une équation de la forme
x = f (x), que l’on peut facilement résoudre numériquement. Cette méthode est connue sous le
nom de itération du point fixe et consiste à considérer la limite de la suite
τn+1 = 250
1 − (1 + τn )−48
,
11000
n ≥ 0,
et où τ0 est une valeur initiale quelconque (mais raisonnable).
Implémentez cette suite afin de connaı̂tre le taux du faux prêt à taux 0 .
PPP
Exercice 2. Itération du point fixe (encore)
a) Utiliser la méthode itérative du point fixe pour résoudre x = 1, 5 cos x où x ∈ (0, 1). La méthode
converge t elle ? Remarque : la solution est x ≈ 0, 9148565.
b) Refaire de même pour x = cos(x)/30 + 44x/45. La méthode converge t elle ?
PPP
c) Les solutions de ces deux problèmes sont elles identiques ?
Exercice 3. Nombres premiers jumeaux
Des nombres premiers jumeaux p1 et p2 (p1 < p2 ) sont deux nombres premiers tels que p2 − p1 = 2.
Écrire un code R permettant de lister tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 1000.
PPP
1
Exercice 4. Algorithme de Newton
L’algorithme de Newton est une méthode numérique rendue célèbre pour trouver les zéros d’une
fonction, i.e., x∗ ∈ R tel que f (x∗ ) = 0. Son principe est basé sur un développement de Taylor au
voisinage de x∗ . En effet pour x ∈ b(x∗ , ε), nous avons
0 = f (x∗ ) ≈ f (x) + (x∗ − x)f 0 (x) ⇐⇒ x∗ ≈ x −
f (x)
,
f 0 (x)
suggérant ainsi un schéma itératif
xn+1 = xn −
f (xn )
.
f 0 (xn )
C’est l’algorithme de Newton.
a) Utilisez l’algorithme de Newton pour trouver une racine (réelle) du polynôme f (x) = x3 +
2x2 − 7. Vérifiez que c’est bien une racine.
b) Combien de racines possède la fonction f (x) = (5x − 3)/(x − 1) ? Quelles sont elles ? Comment
se comporte l’algorithme de Newton lorsque la valeur initiale est
i) x0 = 0, 5
ii) x0 = 0, 75
iii) x0 = 0, 2
iv) x0 = 1, 25.
PPP
Exercice 5. Le vendeur s’appelle Newton
Reprenez l’exercice 1 mais utilisez l’algorithme de Newton en lieu et place de l’itération du point
fixe pour connaı̂tre le taux de notre faux prêt à taux zéro .
PPP
Exercice 6. La loi des grands nombres
La loi des grands nombres est l’un des théorèmes les plus importants en probabilités. Il peut être
utilisé en pratique pour obtenir une approximation (avec une précision arbitraire) d’une intégrale.
Contrairement aux méthodes dites déterministes, sa vitesse de convergence ne dépend pas de
la dimension de l’intégrale. C’est donc un choix particulièrement pertinent pour approcher des
intégrales multiples.
Pour cet exercice nous allons faire simple et essayer de calculer via la loi des grands nombres
Z
−1/2
x2 exp(−x2 /2)dx.
I = (2π)
R
On peut montrer via des calculs standards que I = 1. Mais faignant comme nous sommes,
nous ne souhaitons pas faire ces calculs et désirons seulement une (bonne) approximation de cette
intégrale via la loi des grands nombres. Cette approximation est donnée par
n
1X 2
Iˆ =
X ,
n i=1 i
où les Xi sont des nombres aléatoires simulés indépendemment selon une loi normale centrée
réduite 1
1. Peu importe si ce jargon semble être du chinois aujourd’hui. Dans peu de temps vous vous direz que c’était
vraiment basique comme exercice ;-)
2
a) Le logiciel R possède une fonction pour simuler selon cette loi : la fonction rnorm. Regardez
l’aide de cette fonction afin de comprendre son utilisation. La loi normale centrée réduite
correspond au cas où mean = 0 et sd = 1.
b) A l’aide d’une boucle for, implémetez l’estimation de cette intégrale lorsque n = 100, 500, 1000, 10000.
Commentez vos résultats.
PPP
c) Saurez vous faire de même sans utiliser aucune boucle for ? ? ?
Exercice 7. Les canettes
Vous êtes vous déjà demandé pourquoi les canettes de 33cl ont (presque)
toujours la même forme ? Supposons pour simplifier que les canettes soient
des cylindres de hauteur h et dont la base est un cercle de rayon r.
a) Exprimez le volume V et la surface S de la canette en fonction de h
et r.
b) Exprimez la surface en fonction de r uniquement.
c) Pour réduire les coût de fabrication, il est clair qu’à volume fixé,
il faut minimiser la surface S. Trouvez ainsi analytiquement et
numériquement la configuration optimale d’une canette de 33cl.
PPP
3
r
h