Primitives (2) : relation avec les intégrales

Primitives (2) : relation avec les intégrales
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Primitives (2) : relation avec les intégrales
I
Questions de cours
1. Lien entre intégrale et primitive : exprimer une primitive à l’aide d’une intégrale.
Si f est continue sur l’intervalle I et si a est dans I, alors l’unique primitive de f
sur I qui s’annule en a est définie par F (x) = ...? (ROC pour f croissante).
2. Lien entre intégrale et primitive : connaissant une primitive, calculer une intégrale.
Si F est une primitive de f sur l’intervalle I et si a et b sont dans I (dans un ordre
Z b
quelconque), alors
f (x) dx = ...? Cela se note : ...? (variation d’une fonction
a
entre deux bornes).
3. Intégration par parties.
Si u et v sont dérivables sur I et si u0 et v 0 sont continues sur I, alors :
Z b
u0 (x)v(x) dx = ...? (ROC : cela a un rapport avec (uv)0 ).
a
II
Exemples
Z
1. Calculer I =
2
x dx
1
Soit f (x) = x. Une primitive de f est F définie par F (x) =
x2
.
2
22
12
3
−
=
2
2
2
2. Exprimer la fonction ln à l’aide d’une intégrale. En déduire un encadrement de ln(2)
1
Puisque, sur ]0; +∞[, ln est l’unique primitive de x 7→ qui s’annule en 1, on peut
x
Z x
1
écrire : ln(x) =
dt.
1 t
t est la variable d’intégration et x est la variable de la fonction ln, (borne supérieure
de l’intégrale). Pour un x > 0 fixé, les valeurs de t sont entre 1 et x.
En particulier, pour x = 2, on considère les valeurs de t qui vérifient 1 6 t 6 2.
1
1
Alors 6 6 1 (inverses, nombres positifs).
2
t
Donc I = [F ]21 = F (2) − F (1) =
On intègre cet encadrement de 1 à 2 (en gardant le sens car 1 6 2) :
Z 2
Z 2
1
1
dt 6 ln(2) 6
1 dt, c’est-à-dire : × (2 − 1) 6 ln(2) 6 1 × (2 − 1) (aires
2
2
1
1
1
de rectangles), soit 6 ln(2) 6 1 (ce qui se vérifie car ln(2) ≈ 0, 693).
2
Z 2x
3. Soit F : F (x) =
ln(1 + t2 ) dt. Quelle est la dérivée de F ?
1
Attention, piège : la formule ressemble à celle du théorème permettant d’exprimer
une primitive en fonction d’une intégrale, mais il n’est pas applicable directement
car la borne supérieure d’intégration n’est pas exactement la variable de la fonction
F . En effet, cette borne est 2x et pas x. Le piège est accentué par le nom choisi
pour la fonction : F , qui d’habitude évoque une primitive.
Ici, il faut revenir au calcul d’une intégrale par une primitive, mais il ne faut pas
appeler F la primitive. Soit G une primitive de la fonction f : t 7→ ln(1 + t2 ) (cette
primitive existe car 1 + t2 > 0, f est continue). Il ne faut pas chercher à calculer G
(c’est impossible en terminale), il faut raisonner formellement avec la lettre G.
Par théorème : F (x) = G(2x) − G(1). Donc F 0 (x) = 2G0 (2x) − 0 (il y a encore deux
pièges ici : x 7→ G(2x) est une fonction composée, et G(1) est une constante).
Or G0 = f donc G0 (2x) = f (2x) (piège : c’est bien 2x et pas x ni 2t ni t).
Finalement : F 0 (x) = 2 ln(1 + 4x2 )
4. Soit F la primitive de la fonction ln qui s’annule en 1. Exprimer F (x) à l’aide d’une
intégrale, puis calculer cette intégrale par une intégration par parties (prendre un des
facteurs égal à 1)
Z x
ln est continue sur ]0; +∞[ et 1 ∈]0; +∞[. Donc F (x) =
ln(t) dt.
1
1
On pose ln(t) = u (t)v(t), avec u (t) = 1 et v(t) = ln(t), u(t) = t et v 0 (t) = .
t
Z x
x
0
Donc (intégration par parties) F (x) = [u(t)v(t)]1 −
u(t)v (t) dt =
1
Z x
u(x)v(x) − u(1)v(1) −
1 dt = x ln(x) − 1 × ln(1) − (x − 1) = x ln(x) − x + 1
0
0
1
Il est prudent de vérifier en dérivant : F 0 (x) = 1 ln(x) + x ×
1
− 1 = ln(x)
x