Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles

Faculté des Sciences et Techniques
Université Paul Cézanne
Lycée Blaise Pascal
TSI 1 année
: Dérivées
et primitives
usuelles usuelles
Fiche : Formulaire
Dérivées et
primitives
des fonctions
Primitives des fonctions usuelles
Dans tout le formulaire, les quantitées situées au dénominateur sont supposées non nulles
Dérivées des fonctions usuelles
Dans chaque ligne, F
Dans chaque ligne, f ′ est la dérivée de la fonction f sur l’intervalle I.
f (x)
I
f′
λ (constante)
R
0
x
R
1
xn (n ∈ N∗ )
1
x
1
où n ∈ N,
xn
√
x
R
]0, +∞[
ex
R
sin x
R
cos x
cos x
R
h
i π
π
− + kπ, + kπ ,
2
2
tan x
]−∞, 0[ ou ]0, +∞[
]0, +∞[
k∈Z
− sin x
1 + tan2 x =
I
F (x)
λ (constante)
R
x
R
xn (n ∈ N∗ )
R
]0, +∞[
λx + C
x2
+C
2
xn+1
+C
n+1
ln |x| + C
1
−
+C
(n − 1) xn−1
√
2 x+C
ln x
R∗+
ex
R
x ln x − x + C
sin x
R
cos x
R
h
i π
π
− + kπ, + kπ ,
2
2
1
x
1
où n ∈ N,
xn
1
√
x
1
cos2 x
1+
tan2
]−∞, 0[ ou ]0, +∞[
n>2
1
x=
cos2 x
(f g)′ = f ′ g + f g ′
„ «′
1
g′
=− 2
g
g
„ «
f
f ′ g − f g′
=
g
g2
En particulier,si u > 0 : ∀a ∈ R,
(eu )′ = u′ eu
u′
u
(ua )′ = αu′ ua−1
Z
Module MA109 - Outils mathématiques
ex + C
− cos x + C
sin x + C
k∈Z
tan x + C
On suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle I
un+1
• Une primitive de u′ un sur I est
(n ∈ N∗ )
n+1
′
u
1
• Une primitive de 2 sur I est − .
u
u
′
u
1
• Une primitive de n sur I est −
.(n ∈ N, n > 2.
u
(n − 1) un−1
′
√
u
• Une primitive de √ sur I est 2 u (En supposant u > 0 sur I.)
u
u′
• Une primitive de
sur I est ln |u|.
u
• Une primitive de u′ eu sur I est eu .
En particulier, si u > 0 sur I et si a ∈ R \ {−1}, une primitive de u′ ua sur I est :
(un )′ = nun−1 u′ (n ∈ N, n > 2)
«
„
nu′
1 ′
= − n+1 (n ∈ N, n > 1)
un
u
(ln |u|)′ =
]−∞, 0[ ou ]0, +∞[
Opérations et primitives
(f ◦ g)′ = g ′ × (f ′ ◦ g)
(λf )′ = λf ′ , λ désignant une constante
sur l’intervalle I. Ces primitives sont
f (x)
Opérations et dérivées
(f + g)′ = f ′ + g ′
primitive de f
(x)
ln x
n >2
une
uniques à une constante près notée C.
nxn−1
1
− 2
x
n
− n+1
x
1
√
2 x
1
x
ex
]−∞, 0[ ou ]0, +∞[
est
1
u′ ua =
1
ua+1 + C
a+1
:ln u + C
8
<
si a ∈ R \ {−1}
si a = −1
Année 2010/2011