Cours sur la dérivation

DÉRIVATION
I) NOMBRE DÉRIVÉ
Définition 1
On dit qu'une fonction ¦ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que :
pour tout réel h tel que a + h Î I : ¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0
h®0
Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ¦ en a ; on le note ¦'(a).
Exemple :
La fonction ¦, définie sur , par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est-elle dérivable en a ?
Pour le savoir, calculons ¦(a + h) :
¦(a + h) = (a + h)2 + 3(a + h) – 4 = a2 + 2ah + h2 + 3a + 3h – 4 = a2 + 3a – 4 + (2a + 3)h + h´h
¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec A = 2a +3 et j(h) = h (et on a bien lim j(h) = 0).
h®0
Conclusion : la fonction ¦ est dérivable pour tout réel a. Son nombre dérivé est A = 2a + 3.
Exercices : calculer (s'il existe) le nombre dérivé A de la fonction "carré", d'une fonction affine ¦(x) = mx + p et
d'une fonction constante ¦(x) = k.
Le théorème suivant est un critère pour voir si une fonction est dérivable en a (car ce n'est pas toujours facile de
le vérifier avec la définition)
Théorème 1
Une fonction ¦ est dérivable en a si et seulement si la limite suivante existe et est finie :
lim
h®0
¦ (a + h) - ¦(a )
h
Sa valeur A est alors le nombre dérivé de ¦ en a.
¦( a + h) - ¦( a )
s'appelle l'accroissement moyen de ¦ entre a et a + h.
h
(Ou encore le "taux de variation" ou "taux d'accroissement", selon les ouvrages)
Vocabulaire : la quantité
Exemple : La fonction ¦ définie par ¦(x) = x3 – 7 est-elle dérivable en a = 2 ?
Pour le savoir, évaluons la limite de la quantité suivante :
¦(a + h) - ¦ (a) (2 + h)3 - 7 - 23 + 7 12h + 6h 2 + h3
=
=
= 12 + 6h + h2
h
h
h
D'où :
lim
h®0
¦ (a + h) - ¦(a )
= 12
h
On simplifie d'abord
l'expression avant
d'étudier sa limite.
Donc ¦ est dérivable en a = 2, son nombre dérivé en 2 est ¦'(2) = 12.
Exercice :
Montrer que la fonction racine carré (¦ : x a
Dérivation
x ) est dérivable en tout point de ]0 ; ¥[ mais pas en 0.
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Démonstration du théorème
Si ¦ est dérivable, l'accroissement moyen n'est autre, d'après la définition, que la quantité A + j(h).
Donc la limite de l'accroissement moyen (quand h tend vers 0) est A (puisque j(h) tend vers 0).
Réciproquement, si la limite de l'accroissement moyen existe et vaut A, alors il existe une fonction j qui tend
vers 0 telle que
¦( a + h) - ¦( a )
= A + j(h), donc on a bien l'écriture ¦(a + h) = ¦(a) + Ah +hj(h).
h
II) INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ
Soit C la courbe représentative d'une fonction ¦ dérivable en a.
y
C
On considère le point A(a ; ¦(a)) et le point B(a + h ; ¦(a + h)).
¦(a+h)
Le coefficient directeur de la droite (AB) est :
(AB)
B
¦ ( a + h ) - ¦ ( a ) ¦ ( a + h) - ¦ ( a )
=
a+h-a
h
tangente
Lorsque le point B s'approche du point A (lorsque h tend vers
¦(a)
A
0), le coefficient directeur de (AB) tend vers le nombre
dérivé ¦'(a) et la droite (AB) devient tangente à C (un seul
a
a+h
point de contact).
Propriété
Le nombre dérivé ¦'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A d'abscisse a.
Équation de la tangente :
On a ¦'(a) =
y - ¦ (a )
pour tout point M(x ; y) de la tangente à C en A, ce qui nous en donne une équation :
x -a
y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a)
III) FONCTION DÉRIVÉE
Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour
tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle
fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'.
La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3.
Définition 2
On dit qu'une fonction ¦ est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de cet intervalle.
Dérivation
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x
Tableau des dérivées des fonctions usuelles
Fonction ¦
Fonction dérivée ¦'
définie sur
¦(x) = k (constante)
¦'(x) = 0

¦(x) = ax + b
¦'(x) = a

¦(x) = xn (n  1)
¦'(x) = nxn–1

¦'(x) =
-n
x n +1
*
¦'(x) =
1
¦(x) =
1
(n  1)
xn
¦(x) =
x
] 0 ; +¥ [
2 x
Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient
Dans le tableau ci-dessous, u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I
Fonction
Fonction dérivée
u+v
u' + v'
uv
u'v + uv'
un
nu'un–1
1
v
u
v
-
Exemple
Si ¦(x) = x +
Si ¦(x) = x x alors ¦'(x) = 1 ´ x + x ´
1
3
x
=
2 x 2
Si ¦(x) = (3x2 – 2)5 alors ¦'(x) = 5(6x) (3x2 – 2)4 = 30x(3x2 – 2)4
v¢
v
1
1
alors ¦'(x) = 1 – 2
x
x
2x
1
alors ¦'(x) = - 2
( x - 1) 2
x -1
Si ¦(x) =
2
u ¢v - uv ¢
Si ¦(x) =
v2
2
2x + 3
2(4 x - 4) - 4(2 x + 3)
-20
alors ¦'(x) =
=
4x - 4
(4 x - 4) 2
(4 x - 4) 2
Dérivée des fonctions de la forme ¦(x) = g(ax + b)
On admettra le résultat suivant :
¦'(x) = a g'(ax + b)
Exemple : Soit la fonction ¦ définie sur [
1
; +¥[ par ¦(x) =
3
On remarque que ¦ peut s'écrire ¦(x) = g(3x – 1) où g(t) =
Or, pour tout t > 0, on a : g'(t) =
Dérivation
1
2 t
3x - 1 . Comment la dériver ?
t.
, donc ¦'(x) = a g'(ax + b) =
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3
1
pour tout x > .
3
2 3x - 1
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Exercice : À l'aide des résultats ci-dessus, calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1) ¦(x) = (x2 + x + 1)2
æ1+ xö
6) ¦(x) = ç
÷
è1- xø
2) ¦(x) = (x – 1)2(3 – x)3
3) ¦(x) = (x – 1)4(x + 1)4
4
(
4) ¦(x) = x3(1 + x )
1ö
æ
7) ¦(x) = ç x 2 - ÷ x + x
xø
è
5) ¦(x) = 4x2 x
8) ¦(x) =
Dérivation
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)
2- x
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