Fonctions dérivées

Fonctions dérivées
1. Des formules pour calculer des nombres dérivés de fonctions simples
Définition :
Lorsque l’on peut calculer le nombre dérivé d’une fonction f en tout nombre x d’un intervalle I, on dit que
la fonction f est dérivable sur l’intervalle I, et la fonction qui associe à tout nombre x le nombre dérivé de
la fonction f en x est appelée fonction dérivée de f, et sera notée f ':x
f'
( x)
Voici un tableau qui donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles :
Si f ( x) est égal à…
Alors f '
( x) est égal à…
k (nombre fixé)
0
x
1
ax + b (fonction affine)
a
x 2 (fonction carré)
2x
x 3 (fonction cube)
3x ²
x n (où n est un entier naturel non nul)
nx n −1
1
(fonction inverse)
x
1
x²
n
− n +1
x
1
(où n est un entier naturel non nul)
xn
−
Ainsi on peut être sûr (sans même à avoir à déterminer graphiquement un coefficient directeur de
tangente) que :
Le nombre dérivé de la fonction carré c( x) = x 2 en 15 est égal à c '
(15) = 2 × 15 = 30
Le nombre dérivé de la fonction cube d ( x) = x 3 en -2 est égal à d '
(−2) = 3 × (−2)² = 12
1
Le nombre dérivé de la fonction inverse i ( x) = en 4 est égal à i '
(4) = −1/(4)² = −1/16
x
Le nombre dérivé de la fonction affine a( x) = −3x + 2 en 7 est égal à a '
(7) = −3
2. Opérations sur les dérivées
Maintenant il est évident que ces quelques fonctions sont insuffisantes pour faire des mathématiques, et
que celles que l’on utilise couramment sont des fonctions plus « sophistiquées », comme les fonctions
polynômes (du type p ( x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 ou q ( x) = x 5 − 3 x , par exemple) ou des fonctions rationnelles
1 − x2
par exemple)… Il est à noter que ce type de
x3 − x − 1
fonctions est parfaitement dérivable sur les intervalles où elles sont bien définies.
(qui sont de quotients de polynômes, du type r ( x) =
Voici quelques règles qui permettent de déterminer les fonctions dérivées de fonctions plus « élaborées »
que celles présentées dans le tableau ci-dessus : (u et v sont des fonctions quelconques, dérivables, et
dont les fonctions dérivées sont u 'et v ')
Si f ( x) est égal à…
Alors f '
( x) est égal à…
k × u ( x) (où k est un nombre fixé)
k ×u '
( x)
u ( x) + v( x)
u'
( x) + v '
( x)
u ( x) × v( x)
1
v( x)
u ( x)
v( x)
Attention !
Attention !
Attention !
u'
( x )v ( x ) + u ( x )v '
( x)
v'
( x)
v( x)²
u'
( x )v ( x ) − u ( x )v '
( x)
v( x)²
−
Voilà quelques exemples d’utilisation de ces formules :
Si f ( x) = 5 x 2 alors f '
( x) = 2 × 5 x = 10 x
Si p ( x) = x 3 + x 2 − 4 alors p '
( x) = 3 x ² + 2 x
Si g ( x) = 2 x 3 +
1
1 6 x4 − 1
alors g '
( x) = 2 × 3x ² − =
x
x²
x²
Si h( x) = x 5 ( x 2 + 3) alors h '
( x) = (5 x 4 )( x 2 + 3) + x 5 (2 x) = 7 x 6 + 15 x 4
Si r ( x) =
s ( x) =
1
2
alors r '
( x) = −
2x + 7
(2 x + 7)²
x+2
1(5 − 3 x) − ( x + 2)(−3)
11
alors s '
( x) =
=
5 − 3x
(5 − 3 x)²
(5 − 3 x)²