Dérivées usuelles On admet les formules de dérivation pour les

Dérivées usuelles
On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.
Fonction
Dérivée
f(x) = k
f ’(x) = 0
f(x) = x
f(x) = x2
f(x) = x3
f ’(x) = 1
f ’(x) = 2x
f ’(x) = 3x2
f(x) = xn
f ’(x) = nxn – 1
Validité
k nombre réel
constant ;
x∈r
x∈r
x∈r
x∈r
n entier naturel
supérieur ou égal
à2;
x∈r
Fonction
1
f(x) =
x
1
f(x) = 2
x
1
f(x) = n
x
Dérivée
1
f ’(x) = – 2
x
2
f ’(x) = – 3
x
n
f ’(x) = – n+1
x
f(x) = x
f ’(x) =
1
2 x
Validité
x ∈ r*
x ∈ r*
n entier naturel
non nul
x ∈ r*
x ∈ ]0 ; +∞
∞[
pourtant f est
définie pour
x ∈ [0;+∞[
Opérations et dérivées
u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.
Fonction
Dérivée
Somme f = u + v
f’ = u' + v'
Produit
Quotient
f = ku
f = uv
1
f=
v
u
f=
v
f’ = ku'
f’ = u'v+uv'
v’
f’ = – 2
v
u’v – uv’
f’ =
v2
Dérivabilité
dérivable sur
l’intervalle I
dérivable sur
l’intervalle I
dérivable
pour les x de
I où v(x) ≠ 0
Remarque
Si f = u2 = u × u, alors f’ = u’u + uu’ = 2uu’.
Composition
Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x),
alors f = g o u est dérivable en x et f’(x) = g’(u(x)) × u’(x).
Conséquences :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Fonction
f = un ,
n est un entier naturel, n ≥ 1
1
f = avec u(x) ≠ 0
u
f = u, avec u(x) > 0
f=
1
avec u(x) ≠ 0
un
Dérivée
f’ = nun – 1 × u’
1
u’
× u’ = – 2
u2
u
1
u’
f’ =
× u’ =
2 u
2 u
–n
nu’
f’ = n + 1 × u’ = – n + 1
u
u
f’ = –
Dérivabilité
dérivable sur
l'intervalle I
dérivable pour les x
de I où u(x) ≠ 0
dérivable pour les x
de I où u(x) > 0
dérivable pour les x
de I où u(x) ≠ 0