01TTP Limites continuité dérivabilité - Math-UMN

Résumé Limites Continuité Dérivabilité TTP
Les Résumés de Tonton Paul
I. Limites, continuité, dérivabilité
A) Continuité et limites
1°/ Définitions
Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de
l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si :
pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε
Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles
sont définies.
lq
Définition 2 : Soit I un intervalle, a un élément de I ; on dira que f : I − a → ℜ admet
un réel l comme limite en a si et seulement si
pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η et x ≠ a implique f ( x ) − l ≤ ε
NB : Il y a équivalence entre f est continue en a et f admet en a la limite f ( a ) . Une
limite, lorsqu’elle existe, est unique.
sin x
est 1.
x
Lorsqu’une fonction f admet une limite l en un point a, on peut « prolonger » la fonction
en a en imposant f ( a ) = l . La nouvelle fonction est alors continue en a, et s’appelle
Exemple : On peut démontrer que la limite en 0 de la fonction
« prolongement par continuité de f en a ».
2°/ Extensions de la notion de limite
1- On dit que f a une limite finie l à l'infini positif si et seulement si
pour tout ε > 0 il existe un réel A tel que x ≥ A implique f ( x ) - l ≤ ε
lq
2- On dit que f : I − a → ℜ tend ver s + ∞ en un point a de I si et seulement si
pour tout réel A, il existe un réel η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) ≥ A
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3°/ Opérations algébriques, limites, continuité.
Toutes les opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication par un réel,
multiplication entre fonctions, division par une fonction ne s'annulant pas au point
considéré sont compatibles avec les notions de limite et continuité. Le lecteur est invité
à créer des énoncés analogues avec des limites.
B) Dérivabilité
1°/ Définition et interprétation géométrique.
Définition 3 : Une fonction f : I → ℜ est dite dérivable en a∈I si et seulement s'il existe
f ( x ) − f (a )
une limite finie en a pour l'expression
cette limite est alors appelée "nomx−a
bre dérivé" de f en a ou, par un abus de langage très courant, dérivée de f en a.
Remarque : Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais il existe
des fonctions continues en un point qui n'y sont pas dérivables, comme par exemple
x et x en 0 (dessiner les graphes de ces fonctions).
Définition 4 : Si une fonction définie sur un intervalle est continue (respectivement dérivable) en tout point de cet intervalle, on dit qu'elle est continue (respectivement dérivable) sur cet intervalle. Dans le cas d'une fonction dérivable, cela permet de définir une
nouvelle fonction qui à chaque élément x de l'intervalle de définition associe la valeur
f ′( x ) de la dérivée de f en x. Cette fonction s'appelle la dérivée de f et se note f ′ .
2°/ Exemples.
a) La fonction qui à x associe x est dérivable sauf en 0.
b) La fonction sinus est dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus.
Des formules apprises en terminale permettent de calculer des dérivées de fonctions
déduites d'autres fonctions dérivables :
(u + v ) ′ = u ′ + v ′, (uv ) ′ = u ′v + uv ′ , ( ku) ′ = ku ′ si k est un nombre réel.
′
′
u
u ′v − v ′u
1
−u′
Lorsque cela a un sens,
=
en particulier,
= 2 .
2
v
v
u
u
FG IJ
HK
FG IJ
HK
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3°/ Dérivées des fonctions usuelles
f ( x) =
f ′( x) =
αx α −1
α
x
On rappelle ici un tableau qu'il est impératif de connaître par ln x
coeur :
1
x
ex
ex
sin x
cosx
− sin x
1
cos2 x
cosx
tan x
4°/ Cas des fonctions composées
Si f et g sont dérivables et si la fonction fog est définie, elle est dérivable et
( fog ) ′( x ) = f ′ g ( x ) g ′ ( x ) .
b g
5°/ Dérivées d’ordre supérieur
Il peut être utile de calculer la dérivée nième d’un produit de deux fonctions n fois dérivables,
ce
calcul
se
fait
en
utilisant
la
formule
de
Leibniz :
bfg g
(n )
k =n
( x ) = ∑ C nk f
k =0
(k )
( x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f
(0)
(x ) = f (x ) .
Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton.
6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses
Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction
réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et
g ′ ( f ( a )) =
1
(Théorème des fonctions inverses).
f ′(a )
Cela est assez clairement illustré par les
représentations graphiques de f et de g qui
sont symétriques par rapport à la première
bissectrice :
Graphe de g
y=x
Y
Graphe de f
a
f(a)
O
f(a)
a=g(f(a))
X
Cette propriété est notamment mise en
évidence pour les couples de fonctions tels
que :
logarithme-exponentielle
carré-racine carrée
et vous en verrez d'autres!
P. SILICI [email protected]