Tableau de dérivées
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Tableau de dérivées
Tableau de dérivées I) Dérivées des fonctions usuelles. ππππππππ π βΆ π(π) = π ( π ο β ) π«éπππππππ πππ: ππππππππ π éπππéπ πβ βΆ β πβ(π) = π π(π) = π β πβ(π) = π π(π) = ππ β πβ(π) = ππ π(π) = π π ( π ο ο ) β πβ(π) = ππ πβπ π(π) = π π π(π) = βπ π(π) = π ππ ]- β ; 0[βͺ ]0 ; + β[ ]0 ; + β[ β β {0} πβ(π) = β πβ(π) = π ππ π πβ π πβ(π) = β π ππ+π π(π) = πππ(π) β πβ(π) = πππ(π) π(π) = πππ(π) β πβ(π) = βπππ(π) π(π) = ππ(π) π(π) = ππ ]0 ;+β[ β πβ(π) = π π πβ(π) = ππ II) Dérivées et opérations Si π’ et π£ sont deux fonctions dérivables sur lβensemble D (D étant un intervalle ou une réunion dβintervalles) et Ξ» est un nombre réel on a : Fonction Dérivée π + π πβ + πβ ππ ππβ ππ πβπ + ππβ π π β πβ² ππ π π πβ² π β ππβ² ππ ππ ππβ²ππβπ πβ² βπ π ππ πβπ β π × πβ² ππ+π πππ(π) πβ²πππ(π) πππ(π) βπβ²πππ(π) ππ(π) πβ² π ππ πβ²ππ Exemples : β Exemple 1 : Calculer la dérivée de la fonction π π(π) = ππ +ππ+π Pour π β ππβπ π π π(π) = π π π(π) = ππ + ππ + π donc πβ² (π) = ππ + π π(π) = ππ β π donc πβ²(π) = π Pour tout π₯ β πβ²(π₯) = πβ²(π₯) = 3 2 π’β² π£βπ’π£β² π£² : = (2π₯+5)(2π₯β3)β2(π₯ 2 +5π₯+2) (2π₯β3)² = 4π₯ 2 β6π₯+10π₯β15β2π₯ 2 β10π₯β4 (2π₯β3)² = 2π₯ 2 β6π₯β19 (2π₯β3)² 2π₯ 2 β6π₯β19 (2π₯β3)² Donc πβ² est la fonction définie sur ] β β ; 3 3 2π₯2 β6π₯β19 [ βͺ ] ; +β[ par : πβ²(π₯) = 2 2 (2π₯β3)² β Exemple 2 : Calculer la dérivée de la fonction π: Pour tout π₯ de β : π(π₯) = (2π₯ + 5)(6π₯ β 2) avec : π(π) = π π π(π) = ππ + π donc πβ² (π) = π π(π) = ππ β π donc πβ²(π) = π Pour tout π₯ de β : πβ²(π₯) = π’β² π£ + π’π£β² = 2(6π₯ β 2) + 6(2π₯ + 5) = 12π₯ β 4 + 12π₯ + 30 = 24π₯ + 26 Donc πβ² est la fonction définie sur β par : πβ²(π₯) = 24π₯ + 26 β Exemple 3 : Calculer la dérivée de la fonction π : π(π₯) = 1 π₯ 2 β2π₯+4 π₯ 2 β 2π₯ + 4 = 0 nβa pas de solution dans β car Ξ = 4 β 4 × 4 = β12 < 0 donc pour tout π₯ de β : π₯ 2 β 2π₯ + 4 β 0 Pour tout π de β : π(π) = π π π(π) = ππ β ππ + π donc πβ² (π) = ππ β π Pour tout π₯ de β : πβ²(π₯) = βπ’β² π’² = β(2π₯β2) (π₯ 2 β2π₯+4)² = β2π₯+2 (π₯ 2 β2π₯+4)² πβ²(π₯) = β2π₯+2 (π₯ 2 β2π₯+4)² Donc πβ² est la fonction définie sur β par : πβ²(π₯) = β2π₯+2 (π₯2 β2π₯+4)² Exemple 4 : : Calculer la dérivée de la fonction π: π(π₯) = ln(3π₯ + 6) 3π₯ + 6 > 0 pour π₯ > β2 π est définie et dérivable sur ]-2 ;+β [ Pour β ]-2 ;+β [ π(π₯) = ln(π’) π’(π₯) = 3π₯ + 6 donc π’β² (π₯) = 3 πβ²(π₯) = πβ²(π₯) = π’β² π’ 3 3π₯+6 Donc π est dérivable sur]-2 ;+β [et π β² (π₯) = 3 3π₯+6 Exemple 5 : Calculer la dérivée de la fonction π: π(π₯) = π 5π₯ Pour π₯ β β, π(π₯) = π π’ π’(π₯) = 5π₯ donc π’β² (π₯) = 5 πβ²(π₯) = π’β²π π’ donc π β² (π₯) = 5π 5π₯ Donc π est dérivable sur β et π β² (π₯) = 5 π 5π₯ Exemple 6 : Calculer la dérivée de la fonction π: π(π₯) = (3π₯ β 2)π 2π₯ Pour π₯ β β, π(π₯) = π’ × π£ π(π) = ππ β π donc πβ² (π) = π π(π) = πππ donc πβ²(π) = ππππ π β² (π₯) = π’β² π£ + π’π£β² π β² (π₯) = 3π 2π₯ + 2(3π₯ β 2)π 2π₯ π β² (π₯) = 3πππ + (6π₯ β 4)π 2π₯ = π 2π₯ (3 + 6π₯ β 4) = (6π₯ β 1) π 2π₯ Donc π est dérivable sur β et π β² (π₯) = (6π₯ β 1) π 2π₯