Mathématiques : devoir maison n°7

Lycée Edgar Quinet
Année 2013-2014
Terminale S
[ Mathématiques : devoir maison n°7 \
Corrigé
PARTIE A
On considère la fonction φ définie sur R par φ(x) = (2 − x)ex − 1.
1. Calculer les valeurs φ(−2), φ(0), φ(1) et φ(2). (on donnera la valeur décimale exacte
quand c’est possible, et on arrondira les valeurs non décimales à 10−2 )
φ(−2) = (2 − (−2))e−2 − 1 = 4e−2 − 1 ≈ −0, 46.
φ(0) = (2 − 0)e0 − 1 = 2 × 1 − 1 = 1.
φ(1) = (2 − 1)e1 − 1 = e − 1 ≈ 1, 72.
φ(2) = (2 − 2)e2 − 1 = −1.
2. Justifier que la fonction φ est continue et dérivable sur R.
φ est dérivable sur R en tant que composée des fonctions exponentielle et polynôme.
Elle est donc aussi continue sur R.
3. Calculer la dérivée φ′ de φ, puis dresser le tableau de variations de φ.
φ(x) = (2 − x)ex − 1
la dérivée φ′ de φ est donc définie pour tout x réel par :
φ′ (x) = −1 × ex + (2 − x) × e x
= (2 − x − 1) × ex
φ′ (x) = (1 − x) × e x
φ′ (x) est positif quand 1 − x est positif, soit quand x < 1.
On en déduit le tableau de variation de φ :
x
φ′ (x)
1
−∞
+
0
+∞
−
e−1
φ
4. Démontrer que la fonction φ s’annule en exactement deux valeurs que l’on nommera α
et β en prenant α < β.
Étudier alors le signe de φ sur R et récapituler cette étude dans un tableau.
• φ est croissante sur ]−∞; −2] et φ(−2) < 0 donc l’équation φ(x) = 0 n’admet aucune
solution sur ] − ∞; −2].
• φ(−2) < 0 et φ(1) > 0. De plus φ est croissante et continue sur ]−2; 1]. Donc d’après
le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation φ(x) = 0 admet une unique solution α entre −2 et 1.
• φ(1) > 0 et φ(2) < 0. De plus φ est décroissante et continue sur ]1; 2]. Donc d’après
le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation φ(x) = 0 admet une unique solution β entre 1 et 2.
• φ est décroissante sur ]2; +∞] et φ(2) < 0 donc l’équation φ(x) = 0 n’admet aucune
solution sur ]2; +∞].
La fonction φ s’annule donc en exactement deux valeurs α et β.
On en déduit le signe de φ sur R :
x
α
−∞
φ(x)
β
0
−
+∞
0
+
−
5. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de α et β.
phi (−1, 15) ≈ −0, 0003 et phi (−1, 14) ≈ 0, 0004 donc −1, 15 6 α 6 −1, 14.
phi (1, 84) ≈ 0, 007 et phi (1, 85) ≈ −0, 046 donc 1, 84 6 β 6 1, 85.
6. Proposer une représentation graphique de φ.
2
1
αb
−4
−3
−2
b
1
−1
Cφ
β
2
3
−1
−2
−3
1
.
2−α
7. Démontrer que eα =
On a φ(α) = 0 donc :
(2 − α)eα − 1 = 0
(2 − α)eα = 1
1
eα =
2−α
PARTIE B
On considère la fonction f définie et dérivable sur R par f (x) =
ex − 1
.
ex − x
1. Soit h la fonction définie par h(x) = ex − x.
Étudier les variations de h et en déduire que h ne s’annule pas sur R.
h est dérivable sur R en tant que composée des fonctions polynôme et exponentielle.
Sa dérivée h ′ est définie par h ′ (x) = ex − 1.
h’(x) est donc positif quand :
ex − 1 > 0
ex > 1
x >0
De plus h(0) = e0 − 0 = 1.
On en déduit les variations de h :
x
h ′ (x)
0
−∞
−
0
h
1
+∞
+
On en déduit que pour tout x réel, h(x) > 1, et donc que h ne s’annule pas sur R.
φ(x)
, où φ est la fonction
2. a. Calculer la dérivée de f ′ de f puis prouver que f ′ (x) = x
(e − x)2
définie dans la partie A.
Comme h ne s’annule pas sur R, f est une fonction composée des fonctions exponentielle et rationnelle qui est définie sur R. f est donc dérivable sur R et sa dérivée
f ′ est définie par :
ex × (ex − x) − (ex − 1) × (ex − 1)
f ′ (x) =
(ex − x)2
e2x − xex − (e2x − ex − ex + 1)
=
(ex − x)2
2x
x
e − xe − e2x + ex + ex − 1)
=
(ex − x)2
x
−xe + 2ex − 1)
=
(ex − x)2
(2 − x)ex − 1)
=
(ex − x)2
φ(x)
f ′ (x) = x
(e − x)2
b. À l’aide des résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de f .
(ex − x)2 étant toujours positif, f ′ (x) et φ(x) sont de même signe et on peut dresser
le tableau de variation de f :
x
α
−∞
f ′ (x)
β
0
−
+∞
0
+
−
f (β)
f
f (α)
3. Proposer une représentation graphique de f .
1
b
β
α
b
5
6
4. Le nombre α étant celui défini dans la partie A, démontrer que f (α) =
1
.
α−1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Cf
f (α) =
eα − 1
eα − α
1
−1
2−α
f (α) =
1
−α
2−α
1
2−α
−
2−α 2−α
f (α) =
1
α(2 − α)
−
2−α
2−α
1−2+α
2−α
f (α) =
1 − 2α + α2
2−α
−1 + α
f (α) = 2 − α 2
(α − 1)
2−α
2−α
α−1
×
f (α) =
2 − α (α − 1)2
1
f (α) =
α−1