Semaine 9 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand

Semaine 9 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
8 décembe 2014
Cours
• Rolle
• Théorème des accroissements finis
• Théorème de faux prolongement C 1
On oubliera pas l’hypothèse fondamentale : f doit être continue dans le théorème de faux
prolongement, penser par exemple à la partie entière sur ] − 1, 1[ qui n’est pas dérivable
en zéro.
Exercices
Exercice 1. Soit f dérivable sur R tel que
lim f (x) = +∞, montrer que la dérivée de f
x→±∞
s’annule.
Considérons a = f (0) + 1, alors par théorème des valeurs intermédiaires améliorés, il existe α > 0
tel que f (α) = a, et β < 0 tel que f (β) = a, puis on applique Rolle à [β, α]
Exercice 2. Soit f, g : [a, b] → R dérivable tel que la dérivée de g ne s’annule pas montrer qu’il
existe c ∈]a, b[ tel que :
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0
g(b) − g(a)
g (c)
On applique Rolle à : x 7→ f (x)(g(b) − g(a)) − g(x)(f (b) − f (a))
Exercice 3. Soit f : R+ → R C 2 , tel que f 0 (0) = 0, montrer qu’il existe g : R+ → R, C 1 tel
que :
∀x ≥ 0, f (x) = g(x2 )
√
On pose g(x) = f ( x) alors g vérifie f (x) = g(x2 ), g est continue (par composition), C 1 sur R+?
00
(par composition), de plus on vérifie que g 0 (x) → f 2(0) , et on conclut donc par le théorème de
faux prolongement C 1 .
Exercice 4. Soit f : [a, b] → R, C 1 , on suppose que f (a) = f (b) = 0, montrer qu’il existe
c ∈ [a, b] tel que f 0 (c) = f (c)
On pose g(x) = f (x)e−x , et on applique le théorème de Rolle à g de dérivée g 0 (x) = e−x (f 0 (x) −
f (x))
1
Exercice 5. Soit f : I → R, où I est un intervalle soit a ∈ ˚
I on suppose que f est dérivable à
droite et à gauche en a, montrer alors que :
1
(f (a + h) − f (a − h))
h
Admet une limite quand h → 0, y a t-il réciproque.
En intercalant du f (a) on trouve une limite finie (exprimée en fonction de fd0 (a) et fg0 (a).
p
Par contre il n’y a pas réciproque, par exemple x 7→ |x|
−1
e x
si
x>0
Exercice 6. On note f (x) =
, montrer que f est C ∞ sur R
0
sinon
Exercice 7. Soit f : R → R dérivable périodique, soit T ∈ R, montrer que T est une période de
f si et seulement si T est une période de f 0 .
=⇒ évident.
On suppose f 0 T périodique, alors f 0 (x) = f 0 (x + T ) pour tout x, ainsi en intégrant entre 0 et y,
on a :
f (y) − f (0) = f (y + T ) − f (T )
Donc :
f (y + T ) − f (y) = f (T ) − f (0)
On note δ = f (T ) − f (0) et il suffit donc de montrer que δ = 0, si ce n’est pas le cas, alors on
a f (y + T ) − f (y) = δ, pour tout y, par une récurrence facile f (nT ) − f (0) = nδ, en particulier
f (nt) = nδ + f (0) tend vers ±∞ (suivant le signe de c non nul), en particulier f serait alors non
bornée.
Mais f est périodique et continue sur cette période donc bornée sur cette période, et donc bornée
sur R, ce qui est absurde ainsi δ = 0, et donc f est T -périodique.
Exercice 8. Soit f : [0, +∞[→ R, C 1 , tel que f (0) < 0, et f → +∞ en +∞, on suppose que f
s’annule deux fois.
Montrer que f 0 s’annule aussi au moins deux fois.
f 0 s’annule au moins une fois par Rolle, supposons que f 0 s’annule qu’une seule fois, alors on en
déduit plusieurs possibilités pour le tableau de signe de f 0 , d’où on déduit plusieurs tableau de
variation pour f , qui contredisent tous le fait que f s’annule deux fois.
(x)
(a)
Exercice 9. Soit f : [a, b] → R dérivable, on pose ψ(x) = f (x)−f
, et ϕ(x) = f (b)−f
montrer
x−a
b−x
0
0
que ψ, ϕ sont prolongeables par continuité, en déduire que, si on a f (a) < c < f (b), alors il
existe d ∈ [a, b] tel que c = f 0 (d).
Ce théorème est vrai, sans supposer la continuité de f 0 , ψ est définie sur ]a, b] et continue dessus,
de plus par la dérivabilité de f en a on a que lim ψ = f 0 (a), on prolonge donc ψ par continuité
x→a
en a, idem pour b, de plus ψ(b) = ϕ(a). On a alors :
d ∈ [f 0 (a), f 0 (b)] ⊂ [f 0 (a), ψ(a)] ∩ [ϕ(a), f 0 (b)]
Ainsi d est dans l’image de ϕ ou celle de ψ, en utilisant le théorème des accroissements finis on
a que d est dans l’image de f 0 .
Application : la fonction partie entière n’admet pas de solution à l’équation f (x) = y dès que
y∈
/ Z, ainsi la partie entière n’est la dérivée d’aucune fonction dérivable.
2
Exercice 10. Soit f :]0, 1] → R dérivable, tel que lim f (x) = l et lim xf 0 (x) = l0 , montrer que
x→0
l0 = 0
x→0
Si l0 6= 0, alors il existe un a > 0 et un η > 0 tel que pour x ∈]0, η] on ait |xf 0 (x)| ≥ a, pour
x < η2 par accroissements finis on a f (2x) − f (x) = xf 0 (c) ≥ x ac ≥ a2 , puis passage à la limite.
On obtient que 0 > a2 > 0.
Exercice 11. (difficile) Soit f : R → R C ∞ , 0 < a < b < c tels que :
∀x ∈ R, f (ax) + f (bx) + f (cx) = 0
Montrer que f = 0
• En dérivant n fois on a que an f (n) (ax) + bn f (n) (bx) + cn (f n (cx) = 0
• En x = 0 on obtient donc que toutes les dérivées de f en zéro sont nulles.
n
n
) − cbn f (n) ( bx
0 et M le maximum de f (n) sur
• De plus f (n) (x) = − acn f (n) ( ax
c n
c ), soitnd >
n
a +b
a +bn
(n)
[−d, d], on a ainsi |f (x)| ≤ cn M , soit M ≤ cn M .
n
n
• Prenons maintenant n ∈ N tel que = a c+b
< 1, on obtient alors M ≤ M pour < 1,
n
(n)
donc M = 0, ainsi f
est nulle sur [−d, d] et ce pour tout d n ne dépend pas de d, donc
f (n) est nulle sur R par intégration f est un polynôme sur R.
n
P
• f (x) =
ak xk , a0 = f (0) = 0, puis f 0 (0) = 0 = a1 etc, finalement f est nulle.
k=0
Exercice 12. (difficile) Soit f ∈ C ∞ (R+? , R), on définie ∆f (x) = f (x + 1) − f (x), montrez que
pour x > 0, il existe c ∈]0, 1[ tel que ∆n f (x) = f (n) (x + nc).
Trouver l’ensemble des réels α tel que pour tout n ∈ N on ait nα ∈ N.
Pour n = 1 c’est le théorème des accroissements finis, ensuite on procède par récurrence, supposons qu’on ait le théorème pour n, on pose alors g = ∆f , alors ∆n g(x) = g (n) (x + nc) =
f (n) (x + 1 + nc) − f (n) (x + nc) = f (n+1 (x + nc + c0 ), où c ∈]0, 1[ par le théorème des accroissements finis, ce qui conclut.
α ∈ N convient et on va montrer que ce sont les seuls :
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