1 Questions de cours 2 Notions au programme 3 La semaine

2015-02-02 2015-02-06
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Programme de colle
Semaine 14
Questions de cours
Peuvent être demandées les définitions suivantes : Polynôme, fonction polynômiale, degré d’un polynôme, divisibilité et division euclidienne de polynômes, polynômes scindés, notations de landau
(O(), o(), ∼), développement limité en un point à l’ordre n, dérivabilité (en un point, sur un intervalle), classe C k , extremum local.
Peuvent être demandés les points suivants (avec démonstration si adapté) :
1) Si P ∈ K(X), P (a) = 0 ssi (X − a)|P .
2) Si P admet a1 , . . . ap racines avec ordres de multiplicité m1 , . . . mp , alors (X−a1 )m1 . . . (X−ap )mp |P .
C’est une démonstration longue (établie avec une double récurrence sur p puis sur chacun des mi .
Les élèves doivent en connaitre le squelette et admettre le résultat de la deuxième récurrence).
3) Si un ∼ vn alors un et vn sont de même signe APCR.
4) Unicité du DL à l’ordre n en a (pour une fonction)
5) Formule de primitivation de DL
6) Formule de Taylor-Young (en admettant la formule de primitivation de DL).
7) Calcul du DL à l’ordre 5 en 0 de tan (deux méthodes vues).
8) Formule de Leibniz
9) Si f : I → R a un extremum local, et que a est intérieur à I et f dérivable en a alors f 0 (a) = 0.
10) Théorème de Rolle.
11) Inégalité des accroissements finis.
12) Théorème de prolongement C 1 .
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Notions au programme
Calcul asymptotique :
1. Notations de landau pour les suites et les fonctions.
2. Opération avec les équivalents
3. Développement limités (calcul, Taylor-Young, opérations classiques)
4. Développement asymptotique
5. Application à l’étude de fonctions (recherche d’équivalents pour le calcul de limite, étude locale
– position relative à la tangente, étude d’asymptotes obliques – et position relative.
Dérivabilité :
1. Définition
2. Classes de dérivabilité
3. Accroissements finis (via le théorème de Rolle) et conséquences
4. Théorème de prolongement C 1 et généralisation C k .
5. Tout le chapitre sur la continuité doit resté maitrisé. Les étudiants sont fortement incités à
reprendre des exercices mêlant des résultats de ces deux chapitres.
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La semaine prochaine
Vraie colle sur les polynômes (avec des restes de développements asymptotiques).
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