Colle du 16 septembre : Rappels sur les fonctions de la variable réelle
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Colle du 16 septembre : Rappels sur les fonctions de la variable réelle
Colle du 16 septembre : Rappels sur les fonctions de la variable réelle En italique sont indiquées d'éventuelles questions de cours. 1.1 Continuité et convexité Exercice 1 : (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit f : R → R continue telle que, pour tout x ∈ R, on a f k (x) = x. La fonction f admet-elle des points xes ? Soient f, g : [0, 1] → [0, 1] continues telles que f ◦ g = g ◦ f . Montrer qu'il existe x ∈ [0, 1] tel que f (x) = g(x). Exercice 2 : (Théorème des valeurs intermédiaires) Exercice 3 : (Inégalités de convexité) Déterminer l'image de l'application ]1, +∞[×]1, +∞[→ R, (x, y) 7→ ln(x + y) − 1.2 p ln x ln y. Dérivation Soit a ∈ R. Soit f : R → R continue telle que est dérivable en 0 et calculer sa dérivée. Exercice 1 : Exercice 2 : (Théorème de Rolle) existe c ∈]a, b[ tel que : f (b) − f (a) = Exercice 3 : (Théorème de Rolle) f (1) = 0. f (2x)−f (x) x →x→0 a. Montrer que f Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C 3 . Montrer qu'il b−a 0 (b − a)3 (3) (f (b) + f 0 (a)) − f (c). 2 12 Soit f : [−1, 1] → R de classe C 3 telle que f (−1) = f (0) = 000 (c) Montrer que, pour chaque b ∈ [−1, 1] il existe c ∈ [−1, 1] tel que f (b) = b(b+1)(b−1)f . 6 R1 (3) 2. Trouver la meilleure constante C > 0 telle que nécessairement |f (t)|dt ≤ Ckf k . ∞ −1 1. Soit f : R → R. On suppose que f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N et qu'il existe r > 0 vériant |f (n) (x)| ≤ n!rn pour tous n ∈ N et x ∈ R. Montrer que f est nulle. Exercice 4 : (Formules de Taylor) Soit a ∈ R. Trouver le minimum de classe C 2 de [0, 1] dans R telle que f (0) = f (1) = 0 et f 0 (0) = a. Exercice 5 : (Formules de Taylor) Exercice 6 : (Formules de Taylor) 1. Montrer que : |g(x) − 2. R1 0 (f 00 (t))2 dt pour f de Soit g une fonction de classe C 5 sur un voisinage de 0. x 0 |x|5 (g (x) + 2g 0 (0))| ≤ sup |g (5) (t)|. 3 180 t∈[0,x] En déduire que, si f est de classe C 4 sur [a, b], alors Z | b f (t)dt − a b−a a+b (b − a)5 (f (a) + f (b) + 4f ( ))| ≤ sup |f (4) (t)|. 6 2 2880 t∈[a,b] Montrer que la question 2 fournit une méthode d'approximation à l'ordre 4 des intégrales des fonctions de classe C 4 . 3. 1 1.3 Équivalents et développements limités Exercice 1 : Calculer limx→0+ Exercice 2 : Donner un équivalent de f (t) = sin xsin x −1 xx −1 . R1 dx 0 (1+x+x2 )t quand t → +∞. Soient A et B deux points du plan tels que AB = 2. Pour R > 1, soit f (R) l'aire de {M |AM ≤ R, BM ≤ R}. Donner un équivalent de f (R) quand R → 1+ . Exercice 3 : Exercice 4 : un . Soit a > 0. Soit u0 > 0 et (un ) dénie par un+1 = Exercice 5 : 1. (Sommes de Riemann) 2. Calculer limn→∞ Pn k=1 arcsin(k/n2 ). Calculer limn→∞ n√1 n un 1+ua n Pn k=1 . Donner un équivalent de √ E( k). Montrer que, pour tout entier n > 0, l'équation ex = n − x admet une unique solution positive xn . Donner un développement asymptotique de xn à trois termes. Exercice 6 : + ... + xn = 1. Donner Montrer qu'il existe un unique xn ∈ R+ tel que xnn + xn−1 n un développement asymtotique de xn à deux termes. Exercice 7 : Dans l'espace de dimension 3, soit f (R) le nombre de points réticulaires contenus dans la boule ouverte de centre 0 et de rayon R. Donner un équivalent de f (R) quand R → +∞. Exercice 8 : 1.4 Intégration Exercice 1 : Soient 0 < a < b. Calculer la limite de R bx ax u−sinu u4 quand x → 0+ . Soit f : [0, 1] → R continue telle que f (0) 6= 0. R f (x) Donner un équivalent en +∞ de g(t) = 01 1+tx dx. 1 2. Majorer la diérence entre g et cet équivalent lorsque f est C . Exercice 2 : 1. Soit f : [a, b] → R+ ∗ continue. Montrer qu'il existe une unique subdivision a = x0 < x1 < ... < xn = b telle que, pour chaque Rb Rx k compris entre 0 et n − 1, xkk+1 f (t)dt = n1 a f (t)dt. Pn−1 1 2. Calculer la limite de k=0 f (xk ). n Exercice 3 : (Sommes de Riemann) 1. 2