Programme de Colle 13

Programme de Colle 13
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
Mots clés : Dérivabilité. Dérivée en un point. Opérations sur les dérivées. Théorème de Rolle.
Théorème des accroissements finis. Théorème de prolongement C 1 . Variation d’une fonction dérivable.
Dérivée n-ième, formule de Leibniz. Égalité de Taylor-Lagrange.
Fonctions convexes.
Développements limités. Opérations sur les développements limités. Formule de Taylor-Young.
Développements limités des fonctions usuelles (formulaire). Développement généralisé.
Rappel : Les interrogateurs sont libres de poser quelques questions de Scilab et d’algorithmique
en fin de colle.
Exemples de questions de cours :
– Opérations sur les DLn (en particulier composition et intégration).
– Lien DLn et continuité dérivabilité pour n = 1 et n = 2.
– Développements limités classiques.
n
X
1
= e.
– Montrer que lim
n∞
k!
k=0
– f convexe si et seulement si f ′ croissante.
– f convexe si et seulement si Cf est au dessus de ses tangentes.
√
– Étude de g(x) = x2 + x + 1en +∞ et −∞
x
x
– DL2 (+∞) de f (x) =
√1 + x
√
– DL3 (+∞) de f (x) = x2 + 1 − x2 − 1
esin x − etan x
– DL en 0 de lim
x→0
x − sin x
x
.
– Étude au voisinage de 0 de f (x) =
ln(1 + x)
1
1
−
– Étude au voisinage de 0 de
sin x x
Savoir faire :
– Tout exercice utilisant l’inégalité des accroissements finis, ou l’égalité de Taylor-Lagrange.
– Utilisation du théorème de prolongement C 1 .
– Utilisation de la formule de Leibniz pour calculer une dérivée n-ième.
– Savoir faire un développement limité, et un développement généralisé.
– Déterminer la position d’une courbe et de sa tangente en un point, à partir du DL.
– Déterminer la position d’une courbe et de son asymptote, à partir du DL.