EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche
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EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l’année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n. 1 On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n ≥ 0, un+1 = un (20 − un ). 10 1. Soit f la fonction définie sur [0; 20] par f (x) = 1 x(20 − x). 10 a. Etudier les variations de f sur [0; 20]. b. En déduire que pour tout x ∈ [0; 10], f (x) ∈ [0; 10]. c. On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthogonal. Représenter à l’aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite (un )n≥0 sur l’axe des abscisses. 2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. 3. Montrer que la suite (un )n≥0 est convergente et déterminer sa limite. Partie B : un modèle continu Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005, g(0) = 1 et g est une solution qui ne s’annule pas sur [0; +∞[ de l’équation différentielle (E) : y ′ = 1 y(10 − y). 20 1 1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0; +∞[ et on pose z = . y a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : 1 1 (E1 ) : z ′ = − z + . 2 20 b. Résoudre l’équation (E1 ) et en déduire les solutions de l’équation (E). Page 5 / 6 2. Montrer que g est définie sur [0; +∞[ par g(x) = 10 1 9e− 2 x + 1 . 3. Etudier les variations de g sur [0; +∞[. 4. Calculer la limite de g en +∞ et interprétez le résultat. 5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ? 12 y 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 Page 6 / 6 14 16 18 20 x 22 EXERCICE 4 Partie A : un modèle discret 1 (20x − x2 ). f est dérivable sur [0; 20] et pour tout réel x de [0; 20], 1) a. Pour tout réel x de [0; 20], f(x) = 10 1 1 f ′ (x) = (20 − 2x) = (10 − x). On en déduit le : 10 5 Tableau de variations de f. 0 x f ′ (x) 10 + 0 10 20 − f 0 0 b. f admet donc un minimum égal à 0 atteint en x = 0 et x = 20 et un maximum égal à 10 atteint en x = 10. Donc, pour tout x ∈ [0; 20], f(x) ∈ [0; 10]. c. Représentation graphique de la suite (un )n∈N . x 12 y = y 10 y = x) f( 8 6 4 2 b b b b b u0 u1 2 u2 4 u3 6 8 u4 10 12 14 16 18 20 x 22 2) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. 19 • On a u0 = 1 puis u1 = f(u0 ) = = 1, 9 et donc 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ 10. 10 • Soit n ∈ N. Si 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. Puisque f est croissante sur [0; 10], on a f(0) ≤ f(un ) ≤ f(un+1 ) ≤ f(10) ce qui s’écrit encore 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 10. http ://www.maths-france.fr 7 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 3) La suite (un )n∈N est croissante et majorée par 10. On en déduit que la suite (un )n∈N converge vers un réel que l’on note ℓ. De plus, comme pour tout entier n, on a 1 ≤ un ≤ 10 (car u0 = 1 et car la suite (un )n∈N est croissante), quand n 1 un (20 − un ) et quand n tend tend vers +∞, on obtient 1 ≤ ℓ ≤ 10. Ensuite, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 10 1 ℓ(20 − ℓ) puis 10ℓ = ℓ(20 − ℓ) puis 10 = 20 − ℓ (car ℓ 6= 0) et enfin ℓ = 10. vers +∞, on obtient ℓ = 10 La suite (un )n∈N converge et lim un = 10. n→ ∞ Partie B : un modèle continu 1) a. Soit y une fonction dérivable sur [0, +∞[ ne s’annulant pas sur [0, +∞[. Posons alors z = z est définie, dérivable sur [0; +∞[, ne s’annule pas sur [0; +∞[ et de plus y = y′ = 1 . y z′ 1 et donc y ′ = − 2 . Mais alors, z z 1 11 1 1 1 z′ 1 1 1 ⇔ z′ = − z + . y(10 − y) ⇔ y ′ = y − y2 ⇔ − 2 = − 20 2 20 z 2 z 20 z2 2 20 b. Soient a et b deux réels. On sait que les solutions sur R de l’équation différentielle y ′ = ay + b sont les fonctions de la 1 1 b . Donc forme x 7→ Ceax − . Ici, a = − et b = a 2 20 les solutions de (E1 ) sur R sont les fonctions de la forme x 7→ Ce−x/2 + 1 , C ∈ R. 10 Si une telle fonction ne s’annule pas sur [0; +∞[, elle fournit une solution de (E) sur [0; +∞[ à savoir la fonction 1 x 7→ . 1 Ce−x/2 + 10 2) D’après ce qui précède, il existe une contante réelle C telle que pour tout x ≥ 0, g(x) = g(0) = 1 fournit 1 1 C+ 10 = 1 puis C + 1 9 = 1 et donc C = . Donc, pour tout réel x ≥ 0, 10 10 g(x) = 10 10Ce−x/2 +1 . L’égalité 1 10 = −x/2 . 1 9 −x/2 9e +1 e + 10 10 Pour tout réel positif x, g(x) = 10 . 9e−x/2 + 1 3) La fonction g est dérivable sur [0; +∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur [0; +∞[ dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0; +∞[ et pour x ≥ 0 1 × e−x/2 −9 × − −(9e−x/2 + 1) ′ 4, 5e−x/2 2 ′ g (x) = 10 × = 10 × = . −x/2 2 −x/2 2 (9e + 1) (9e + 1) (9e−x/2 + 1)2 g ′ est strictement positive sur [0; +∞[ et donc g est strictement croissante sur [0; +∞[. 4) lim e−x/2 = lim eX = 0 et donc lim g(x) = x→ +∞ X→ −∞ x→ +∞ 10 = 10. 0+1 lim g(x) = 10. x→ +∞ http ://www.maths-france.fr 8 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 5) Soit x un entier naturel. 10 ≥5 +1 9e−x/2 + 1 1 1 ⇔ ≤ (par décroissance de la fonction x 7→ sur ]0, +∞[ et car 9e−x/2 + 1 > 0) 10 5 x 1 ⇔ 9e−x/2 + 1 ≤ 2 ⇔ 9e−x/2 ≤ 1 ⇔ e−x/2 ≤ 9 1 ⇔ ln(e−x/2 ) ≤ ln (par croissance de la fonction ln sur ]0; +∞[) 9 x ⇔ − ≤ − ln 9 ⇔ x ≥ 2 ln 9 2 ⇔ x ≥ 4, 3 . . . ⇔ x ≥ 5 (car x est entier). g(x) ≥ 5 ⇔ 9e−x/2 x = 5 correspond à l’année 2010 et donc Le nombre de foyers possédant un téléviseur à fond plat dépassera 5 millions à partir de l’année 2010. http ://www.maths-france.fr 9 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.