CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 TERMINALE S 3 lim 1 n 1 n 1 n 1
Transcription
CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 TERMINALE S 3 lim 1 n 1 n 1 n 1
CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 TERMINALE S 3 EXERCICE 1 : Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. Il constate que : • s’il a joué un jour, la probabilité qu’il ne le fasse pas le lendemain est de 0, 6 ; • s’il n’a pas joué un jour, la probabilité qu’il joue le lendemain est de 0, 9. Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer. 1. a. L'arbre pondéré de probabilités sur les deux premiers jours : b. La probabilité que Franck joue le deuxième jour est 0,9. c. La probabilité qu’il ne joue pas le deuxième jour est 0,1. 2. Soit n un entier naturel non nul. Soient Dn l’événement : « Franck a joué le n-ième jour » et on note dn la probabilité de Dn . a. La relation liant dn et dn + 1 avec un arbre : dn + 1 = p(Dn + 1 ) = p(Dn + 1 ∩ Dn) =p(Dn + 1 ∩ Dn ) = 0,4dn + 0,9(1 – dn) = – 0,5dn + 0,9. b. Pour tout entier naturel n non nul, on pose un = dn − 0, 6. un + 1 = dn + 1 − 0, 6 = – 0,5dn + 0,9 – 0,6 = – 0,5dn + 0,3 = – 0,5(dn + 0,6) = – 0,5un . Donc la suite (un) est géométrique de raison – 0,5 et de premier terme u1 = d1 – 0,6 = – 0,6. Ainsi un = – 0,6(– 0,5)n – 1 . D'où dn = un + 0, 6 = – 0,6(– 0,5)n – 1 + 0,6. c. La raison de la suite (un) est strictement comprise entre – 1 et 1, donc lim u n = 0, et lim d n = 0,6. Cette limite signifie que la probabilité n →+∞ n →+∞ que Franck joue aux jeux vidéo tend vers 0,6 lorsque le nombre de jours n tend vers +∞ . EXERCICE 2 : On considère la fonction f définie sur par fn (x) = ln(ex – x – 1 ) où n est un entier naturel n supérieur ou égal à 2. 1 est n strictement positif . On a vu que pour tout réel x, ex ⩾ x + 1 (la droite d'équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en 0 et les tangentes à cette courbe sont toujours en-dessous de 1 1 la courbe), donc ex – x – 1 ⩾ 0. Or pour tout entier n ⩾ 2, < 1, donc ex – x – > ex – x – 1 ⩾ 0. n n Donc la fonction fn est définie sur ℝ. ex −1 2. La fonction fn est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions qui le sont. Et fn '(x) = qui est du 1 x e −x− n x x 0 x x x signe de e – 1. Si x > 0, e > e soit e > 1, donc e – 1 > 0 ; et si x < 0, e – 1 < 0. Donc la fonction fn est 1 croissante sur ℝ+ et décroissante sur ℝ– . Elle admet donc un minimum en x = 0 qui vaut fn(0) = ln(1 – ). n ex ex ex 1 1 1 3. Pour tout x > 0, ex – x – = x( –1– ). On sait que lim = +∞, donc lim ( −1− ) = +∞, n nx x nx x →+ ∞ x x →+ ∞ x donc lim f n ( x ) = +∞ . 1. Pour montrer que la fonction fn est définie sur ℝ, il suffit de montrer que pour tout réel x, ex – x – x →+ ∞ lim e x = 0, donc x →− ∞ 1 lim (e x −x− ) = + ∞ , donc lim f n ( x) = + ∞. n x →− ∞ x →−∞ 4. Pour montrer que la droite d'équation y = x est asymptote à la courbe représentative de la fonction fn , on cherche la limite lim ( f n ( x )−x ) . x →+ ∞ Or fn (x) – x = ln(ex – x – 1 1 ) – x = ln(ex – x – ) – ln(ex ) = ln n n ( e x−x − e x 1 n ) = ln (1− x 1 − x) . x e ne 1 x = 0 et lim = 0, donc lim ( f n ( x )−x ) = ln1 = 0. Ainsi, la droite d'équation y = x est bien x x →+∞ ne ex x →+ ∞ asymptote à la courbe représentative de la fonction fn . 5. On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, un = minimum de la fonction fn , donc 1 ) = ln(n – 1) – ln(n). un = ln(1 – n Or lim x →+∞ ( 2 ) n a) un + 1 – un = ln(n) – ln(n + 1) − (ln(n – 1) – ln(n)) = 2ln(n) – ln(n – 1) – ln(n + 1) = ln = ( n−1)(n+1) ( ) ( ) 2 2 n2 n n 2 2 . Or pour tout entier naturel n > 1, n > n – 1 , donc > 1, donc ln > 0, et la suite (un) n 2 −1 n 2−1 n 2 −1 est croissante. 1 b) lim = 0, donc lim u n = ln1 = 0. Donc la suite converge vers 0. n →+∞ n n →+∞ ln EXERCICE 3 : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = 2(x + 1)e – x . 1. Pour montrer que la fonction u définie sur ℝ par u(x) = (x2 + 2x)e – x est solution de l'équation (E), il suffit de montrer que la fonction u vérifie l'équation : on a u '(x) = (2x + 2)e – x + (x2 + 2x)(– e – x ) = (– x2 + 2)e – x . Et u '(x) + u(x) = (– x2 + 2)e – x + (x2 + 2x)e – x = (2x + 2)e – x = 2(x + 1)e – x . Donc la fonction u est solution de l'équation (E). 2. La fonction f est solution de (E) équivaut à f '(x) + f(x) = 2(x + 1)e – x équivaut à f '(x) + f(x) = u '(x) + u(x) équivaut à f '(x) + f(x) – u '(x) – u(x) = 0 équivaut à (f – u) '(x) + (f – u)(x) équivaut à f – u est solution de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. Donc f est solution de (E) si et seulement si f – u est solution de (E'). 3. Les solutions de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0 sont les fonctions fk définies sur ℝ par fk(x) = ke – x. Donc f(x) – u(x) = ke – x , et f(x) = ke – x + u(x) = ke – x + (x2 + 2x)e – x = (x2 + 2x + k)e – x . 4. La solution f telle que f (0) = 1 vérifie f(0) = (02 + 20 + k)e 0 = k = 1. D'où f(x) = (x2 + 2x + 1)e – x = (x + 1)2 e – x . 5. La fonction F définie sur ℝ par F(x) = (ax2 + bx + c)e – x est une primitive de la fonction f de la question 4 si et seulement si F'(x) = f(x), soit F'(x) = (2ax + b)e – x + (ax2 + bx + c)(– e – x ) = (– ax2 + (2a – b)x + b – c)e – x = f(x). Par identification des polynômes, on obtient – a = 1, 2a – b = 2 et b – c = 1. On trouve a = – 1, b = – 4 et c = – 5. Donc F(x) = (– x2 – 4x – 5)e – x . 6. a) Pour tout réel x, la fonction f est positive. Donc pour tout entier naturel n, l'aire A(n) comprise entre la courbe représentative de la fonction f , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = n, est n égale à ∫ f (x ) dx = F(n) = F(0) = (– n2 – 4n – 5)e – n – (– 5)e 0 = (– n2 – 4n – 5)e – n + 5. 0 2 −n b) On sait que lim n e n →+∞ −n = lim n e n →+∞ = lim e n →+∞ −n = 0, donc lim A(n) = 5. n →+∞ Cette limite est l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f sur ℝ+ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. C'est une aire finie, mais non délimitée.