Corrigé du DM 7(problème bac S Inde 2003)

Corrigé du DM 7(problème bac S Inde 2003)
Conjectures
a. Il semble que cette fonction soit croissante sur [–3 ;2]
b. Il semble que la courbe soit en dessous de l’axe des abscisses sur [–3 ;0[ et au dessus sur
]0 ;2]. Il semble que la courbe coupe l’axe des abscisses une seule fois pour x = 0.
Partie A
1. Pour dériver x  ex – 1, nous utilisons la formule (eu)’ = u’eu avec u(x) = x – 1 donc
u’(x) = 1. La dérivée est donc ex – 1.
Pour dériver f, nous avons un produit : (x² ex – 1)’ = 2x ex – 1+ x² ex – 1 et la dérivée de
x²
x  est x  x donc f ’(x) = 2x ex – 1+ x² ex – 1 –x = x (2 ex – 1 + x ex – 1 –1)
2
x–1
= x[e (2 + x) – 1] donc f ’(x) = x g(x).
2. a. lim ex – 1 = + et lim x + 2 = + donc par produit puis par différence avec 1



x  +
x  +
lim g(x) = +.
x  +
Pour lim g(x), nous avons une forme indéterminée (  0). Posons X = x – 1. Nous avons
x  –
alors x = X + 1 et si x tend vers – alors X tend vers –.
Donc lim g(x) = lim (X + 3) eX – 1 = lim XeX + 3 eX –1. Nous savons que
x  –
X  –
X  –
X
lim Xe = 0 (formule du cours) et que lim eX = 0 donc lim g(x) = 0 – 1 = –1.
X  –
X  –
x  –
b. Pour dériver g nous utilisons la formule du produit :
g’(x) = ex – 1 + (x + 2) ex – 1 = ex – 1(1 + x + 2) = ex – 1(x + 3). Nous savons que pour tout x,
ex – 1 > 0 donc le signe de g’(x) est le même que celui de x + 3. Or x + 3 > 0  x > –3. Signe
résumé dans le tableau de variation de la question c.
c. g(–3) = –e–4 –1
x
–
–3
+
g’(x)
–
0
+
g(x)
–1
+
–e–4 –1
d. • Sur ]– ;–3], d’après le tableau de variations, g(x)  –1 donc l’équation g(x) = 0 n’a pas
de solution sur ]– ;–3].
• Sur ]–3 ;+[, g est continue, strictement croissante et 0  ]g(–3) ; lim g(x)[ donc,
x  +
d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution dans ]–3 ;+[.
Par conséquent, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans IR.
Avec la calculatrice, j’obtiens g(0,20)  –0,0115 < 0 et g(0,21)  0,003 > 0 donc nous
avons : g(0,20) < g(α) < g(0,21).
g est strictement croissante sur ]–3 ;+[ donc 0,20 < α < 0,21.
e. Nous savons déjà que sur ]– ;–3], g(x) < 0. Sur ]–3 ;+[, g est strictement croissante et
g(α) = 0 donc : g(x) < 0 sur ]– ;α[ et g(x) > 0 sur ]α ;+[.
3. a. et b. f ’(x) = x g(x). Nous pouvons donc dresser un tableau de signes puis de variations :
x
–
signe de x
signe de g(x)
signe de f’(x)
sens de variation de f
de f
–
–
+
0
0
0
α
+
–
–
0
0
+
+
+
+
c. La 1ère conjecture était donc fausse.
Partie B
α²
2
Mais nous savons aussi que g(α) = 0 et g(α) = (α + 2)eα – 1 –1.
1. Nous savons que f(α) = α²eα – 1 –
1
Nous pouvons utiliser cette
α+2
1
α² 2α² – α²(α + 2)
– α3
expression dans f(α) : f(α) = α²
– =
=
α+2 2
2(α + 2)
2(α + 2)
3
3
–3x²(2(x + 2)) + 2x
–4 x – 12x² 4x²(–x –3)
2. a. h’(x) =
=
=
4(x + 2)²
4(x + 2)²
4(x + 2)²
Il est évident que sur ]0 ;1], 4x² > 0, 4(x + 2)² > 0 et –x –3 < 0 donc h’(x) < 0 sur ]0 ;1].
h est donc strictement décroissante sur [0 ;1].
b. Nous savons que 0,20 < α < 0,21 et h est strictement décroissante sur [0 ;1] donc
h(0,21) < h(α) < h(0,20). Or h(0,21) –0,0021 et h(0,20)  –0,0018 donc
–0,003 < h(α) < –0,001. Enfin nous remarquons que h(α) = f(α) donc un encadrement pour
f(α) est : –0,003 < f(α) < –0,001.
Remarque : nous venons de démontrer que f(α) < 0 donc la 2ème conjecture est fausse.
x²
1
1
3. a. Il faut résoudre f(x) = 0  x² ex – 1 – = 0  x²( ex – 1 – ) = 0  x² = 0 ou ex – 1 – = 0
2
2
2
1
1
1
 x = 0 ou ex – 1 =  x = 0 ou x – 1 = ln    x = 0 ou x = 1 – ln 2 (car ln   = – ln 2).
2
2
2
b. Il y a donc deux points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses. En utilisant le
tableau de variation sur lequel on peut placer ces points d’intersection, on a : La courbe est
en dessous de l’axe des abscisses sur ]– ;0[ et sur ]0 ;1–ln 2[, elle est au dessus de l’axe
des abscisses sur ]1 – ln 2 ;+[ et elle a un point de contact avec l’axe des abscisses en 0 et
en 1 – ln 2.
c. La 2ème conjecture est donc fausse.
Nous pouvons en déduire que (α + 2)eα – 1 –1 = 0  eα – 1 =
Partie C
1.
x
f(x)
–0.20
–0.15
–0.10
–0.05
–4
–4
–4
–80•10 –41•10 –17•10 –4•10–4
0 0.05
0 –3•10–4
0.10
–9•10–4
0.15
0.20
0.25
0.30
–4
–4
–4
–16•10 –20•10 –17•10 –3•10–4
0.35
27•10–4
0.40
78•10–4
2.
y
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0
-0,001
-0,002
-0,003
-0,004
-0,005
-0,006
-0,007
-0,008
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 x