Définition et représentation graphique de la fonction logarithme
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Définition et représentation graphique de la fonction logarithme
CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 La fonction inverse x --- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x --- qui s’annule en 1. x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante. Elle est continue et bijective. 1 • ln ′ ( x ) = --- ; x ln 1 = 0. x 0 1 x --x • lim ln x = – ∞ + + x→0 0 +∞ ln lim ln x = + ∞ . x → +∞ 1 0 B 0 –∞ ln A 1 148 +∞ 1 e cours exercices savoir-faire corrigés • On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1 Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = --- x et au point e B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1. exemple d’application Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction : x+3 f : x ln ------------ . x – 1 corrigé commenté Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f. x+3 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un trix–1 nôme du second degré de racines 1 et – 3. x+3 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . x–1 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. 3 1 + --x+3 x • ------------ = ------------- pour x ≠ 0 d’où x–1 1 1 – --x composition lim f ( x ) = 0. 1 + 3 --- x lim ------------- = 1 et lim ln X = 0 donc par 1 x → ∞ X→1 1 – -- x x →∞ Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞. x+3 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ . x → –3 x – 1 X→0 x → –3 –3 0 –3 Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à . • lim ( x – 1 ) = 0 + x →1 1 et lim ( x + 3 ) = 4 x →1 donc x+3 lim ------------ = + ∞ – 1 x → 1 x 1 et lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ . X → +∞ x→1 1 Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives : y = 0 ; x = – 3 et x = 1. 149 CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 2 Propriétés et autres fonctions 1. Propriétés de la fonction logarithme népérien Conditions Propriétés a0 b0 ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des fonctions logarithmes) a 1 ln --- = ln a – ln b ; ln --- = – ln b b b ln a α = α ln a avec α ∈ ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective) ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement croissante) ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1 0x1 ln x 0 x1 ln x 0 2. Dérivées et primitives • Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, u ( x ) soit strictement positif : u′ ( ln ◦ u )′ = ----u u′ . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ----- . u • Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I. u¢ Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ . u 3. Fonction logarithme décimal ln x La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------- . ln 10 Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien. 1 log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ----------------- . x ln 10 Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puissances de 10. 150 cours savoir-faire exercices corrigés 4. Autres limites ln ( 1 + x ) lim ------------------------ = 1 ; x x→0 ln x lim --------- = 0 ; x x → +∞ lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois). x→0 ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro. 5. Résolution de l’équation ln x = a Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans ]0 ; + ∞ [ . Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a. exemple d’application x 2 + 3 définie sur ]1 ; + ∞ [ . Soit la fonction f : x ln -------------x–1 Déterminer les variations de f. corrigé commenté x2 + 3 La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = --------------- . x–1 2x ( x – 1 ) – ( x 2 + 3 ) u′ x 2 – 2x – 3 D’où f ′ = ----- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = --------------------------u ( x – 1 )2 ( x – 1 )2 donc : x 2 – 2x – 3 --------------------------( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 ) . ( x – 1 )2 f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------2 ( x – 1 )2 ( x2 + 3 ) x +3 --------------x–1 Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3. Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]1 ; 3 ] . Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] . Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df . Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ . 151