Cours de Terminale S /Fonction logarithme népérien

Cours de Terminale S /Fonction logarithme népérien
E. Dostal
novembre 2014
Table des matières
7 Fonction logarithme népérien
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Définition et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Etude de la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
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Chapitre 7
Fonction logarithme népérien
7.1
Introduction
Histoire :
A la fin du XVIe siècle, les mesures astronomiques, nécessaires à la navigation
par exemple ou à l’étude du mouvement des planètes, engendrent des calculs compliqués et particulièrement longs à effectuer à la main. Pour simplifier les calculs, on cherche à réaliser des
tables numériques à deux colonnes mettant en correspondance les nombres de telle manière que
pour effectuer une multiplication, il suffira d’effectuer une addition, beaucoup plus simple !
Il s’agit de réaliser une fois pour toutes ces calculs fastidieux puis de mettre les tables à disposition des calculateurs. C’est l’écossais John Napier (1550-1617) qui a le premier établi une telle
table, appelée table de logarithmes.
7.2
Définition et propriétés algébriques
Définition 1 La fonction logarithme néperien, notée ln est la fonction réciproque de la fonction
exponentielle sur ]0; +∞[. Le logarithme néperien est donc définie sur ]0; +∞[ et vérifie : eln(x) =
x pour tout x > 0.
Remarque 1. L’existence d’une fonction réciproque est une conséquence du théorème de la bijection :
exp est continue et strictement croissante sur R et lim ex = 0 ; lim ex = +∞. Ainsi, pour tout y > 0,
x→−∞
il existe un unique réel noté x = ln(y) tel que ex = y.
Théorème 1
x→+∞
Pour tous réels x, y > 0 et tout entier relatif n ∈ Z, on a :
1. eln(x) = x
2. ln(ea ) = a pour tout a ∈ R.
3. ln(1) = 0 ; ln(e) = 1
4. ln(x y) = ln(x) + ln(y)
1
= − ln(y)
5. ln
y
x
6. ln
= ln(x) − ln(y)
y
7. ln(xn ) = n ln(x)
√
8. ln( x) = 21 ln(x)
9. Attention : ln est définie sur ]0; +∞[ : ln(0) , ln(−2) n’existent pas !
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CHAPITRE 7. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Preuve. Plusieurs résultats reposent sur : ea = eb ⇐⇒ a = b (∗).
a
1 eln(x) = x d’après la définition 1. 2 eln(e ) = ea , d’après (∗), ln(ea ) = a.
3 ln(1) = ln(e0 ) = 0 et ln(e) = ln(e1 ) = 1 d’après 2.
4 eln(x)+ln(y) = eln(x) eln(y) = xy = eln(xy) , d’après (∗) : ln(x) + ln(y) = ln(xy).
3
4
5 0 == ln(1) = ln(y/y) == ln(y) + ln(1/y), donc ln(1/y) = − ln(y).
(2)
5
6 ln(x/y) === ln(x) + ln(1/y) == ln(x) − ln(y).
n
7 eln(x ) = xn = (eln(x) )n = en ln(x) donc ln(xn ) = n ln(x).
√ 2
√
8 2 ln( x) = ln( x ) = ln(x), on obtient l’égalité en divisant par 2.
Exemple 1. Résoudre ex − 2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 2. ln 16 + ln(3e2 ) − ln 2e = ...
Remarque 2. si a, b > 0, ln(a) < ln(b) ⇐⇒ eln(a) < eln(b) ⇐⇒ a < b (car exp strictement croissante).
Donc ln est strictement croissante. On a donc également : ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b.
Exemple 3. Résoudre dans N l’inéquation 0,99n < 0,5 ...
7.3
Etude de la fonction logarithme
Théorème 2 ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[ :
1
ln′ (x) = > 0 pour tout x > 0
x
De plus : lim ln(x) = −∞ ; lim ln(x) = +∞.
x→+∞
x→0
x
0
+∞
+∞
ln
−∞
T :y =x−1
ր
y = ln(x)
1
~
O
~ı
e
Remarque 3. Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, ln(u) existe et
u′
est dérivable sur I, de dérivée . (théorème de dérivation des fonctions composées)
u
Remarque 4. ln′ (1) = 1 et ln(1) = 0 donc y = x − 1 est l’équation de la tangente à la courbe de ln en
x = 1. Ainsi : ln(1 + h) ≈ h pour h voisin de 0.
Preuve. On admet la dérivabilité (et donc la continuité) de ln sur ]0; +∞[.
Exemple 4. Tableau de signe de ln(x) ?
Dériver g : x 7→ ln(x + x2 ) ...
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Théorème 3
CHAPITRE 7. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
On a pour tout n ∈ N,
ln(x)
=0
x
ln(x)n
2. lim
= 0 croissances comparée
x→+∞
x
3. lim x ln(x) = 0
1.
lim
x→+∞
x→0
4. lim x ln(x)n = 0 croissances comparées
x→0
5. lim
x→0
ln(x + 1)
=1
x
ln(x) x=eX
ln(eX )
X
===== lim
= lim X = 0 par croissance comparée de la fonction
X
x→+∞ x
X→+∞ e
X→+∞ e
exponentielle. La même idée permet d’obtenir 2 3 et 4.
ln(1 + h) − ln(1)
1
ln(1 + h)
= lim
= ln′ (1) = = 1
5 : on exprime la dérivabilité en 1 : lim
h→0
h→0
h
h
1
Preuve. 1 lim
Si a > 0 et b ∈ R, ab = eb ln(a) (exponentielle de base a).
ln(x)
pour x > 0. On note log = log10 .
Le logarithme de base a est loga (x) =
ln(a)
Définition 2
Exemple 5. Etudier h :]0; +∞[→ R, x 7→ xx .
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