EXERCICE 3 (5 points ) Commun à tous les candidats Soit la suite
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EXERCICE 3 (5 points ) Commun à tous les candidats Soit la suite
EXERCICE 3 (5 points ) Commun à tous les candidats Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 2 1 u0 = et un+1 = un + . 2 2 un 1. a) Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par : 2 1 x+ . f (x) = 2 x Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère → − − → orthonormal (O, i , j ). (On prendra comme unité 2 cm.) → − b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0 , A1 , A2 et A3 de l’axe (O, i ) d’abscisses respectives u0 , u1 , u2 et u3 . 2. a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : un ≥ √ b) Montrer que, pour tout x ≥ 2, f (x) ≤ x. √ 2. c) En déduire que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 1. d) Prouver qu’elle converge. 3. Soit ℓ la limite de la suite (un ). Montrer que ℓ est solution de l’équation : 2 1 x+ . x= 2 x En déduire sa valeur. 4 EXERCICE 3 1 1 = +∞. Donc lim x + = +∞ puis lim f(x) = +∞. On en déduit que la droite d’équation x→ 0 x→ 0 x x x>0 x>0 x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f. 1 x 1 = = 0. Donc lim x + = +∞ puis lim f(x) = +∞. De plus, lim f(x) − • lim x = +∞ et lim x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x x 2 1 x lim = 0 et donc la droite d’équation y = est asymptote à la courbe représentative de f en +∞. x→ +∞ 2x 2 • La fonction f est dérivable sur ]0, +∞[ en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur ]0, +∞[. De plus, pour x > 0, √ √ 1 2 x2 − 2 (x − 2)(x + 2) ′ f (x) = 1− 2 = = . 2 x 2x2 2x2 √ √ x+ 2 > 0. Par suite, pour x > 0, f ′ (x) est du signe de x − 2. On en déduit le tableau de variations Pour x > 0, on a 2 2x de f, 1) a) • lim x = 0 et lim x→ 0 x>0 x→ 0 x>0 x √ 2 0 ′ f (x) − +∞ + 0 +∞ +∞ f √ 2 √ √ √ 1 √ 1 √ 2 • f( 2) = ( 2 + √ ) = ( 2 + 2) = 2. 2 2 2 • Graphe de f. y = x 5 4 3 y 1 (x = 2 y= 2 + 2) x x 2 √ 2 1 b A0 A3 √ 1 2 b b b A2 2 A1 3 4 5 b) Voir graphique ci-dessus http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2) a) Montrons tout d’abord que pour tout entier naturel n, un existe et un > 0. C’est vrai pour n = 0 et si pour n ≥ 0 donné, un existe et un > 0, alors un+1 existe et un+1 > 0. Le résultat est donc démontré par récurrence. Soit n ∈ N∗ . √ √ √ √ u2n−1 − 2 2un−1 + 2 1 (un−1 − 2)2 2 = . un−1 + un − 2 = − 2= 2 un−1 2un−1 2un−1 √ On en déduit que un − 2 ≥ 0. On a montré que pour tout entier naturel non nul n, un ≥ √ b) Soit x ∈ [ 2, +∞[. 1 f(x) − x = 2 Puisque x ≥ √ 2. √ √ 2 x2 + 2 2 − x2 ( 2 − x)( 2 + x) x2 + 2 − 2x2 x+ −x= = = . −x= x 2x 2x2 2x2 2x2 √ 2, cette expression est négative et donc f(x) ≤ x. Pour tout réel x ≥ c) Soit n ∈ N∗ . D’après la question a), on a un ≥ √ 2, f(x) ≤ x. √ 2 et donc d’après la question b), on a un+1 = f(un ) ≤ un . On a montré que pour tout entier naturel non nul n, un+1 ≤ un et donc la suite (un ) est décroissante. d) La suite √ (un ) décroît à partir du rang 1 et est minorée par réel ℓ ≥ 2. √ 2. On en déduit que la suite (un ) converge vers un certain La suite (un ) converge. 3) On passe à la limite quand n tend vers +∞ dans l’égalité Un+1 = ℓ= 1 2 1 2 2 un + . Puisque ℓ n’est pas nul, on obtient un 2 ℓ+ . ℓ Maintenant, 1 ℓ= 2 2 ℓ+ ℓ ⇔ 2ℓ2 = l2 + 2 ⇔ ℓ2 = 2 ⇔ ℓ = lim un = n→ +∞ http ://www.maths-france.fr 6 √ 2 (car ℓ > 0). √ 2. c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.