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IUFM de La Seyne-sur-Mer Agrégation Interne CORRIGÉ DU SUJET MINES-PONTS 99 - MP T. CHAMPION 1)a. FA est stable par combinaisons linéaires découle de la linéarité du passage à FA est non vide puisque les fonctions constantes (et en particulier la fonction éléments de FA : si f est une fonction constante égale à c sur I on a évidemment Le fait que la limite. De plus nulle) sont des Z 1 Z 1 N N 1 X 1 X f (an ) = c = c = c dx = f (x) dx . N N 0 0 ∀N ≥ 1, n=1 1)b. ε > 0, Soit et f1 et f2 dans n=1 FA vériant les deux propriétés. Puisque N N N 1 X 1 X 1 X f1 (an ) ≤ g(an ) ≤ f2 (an ) , N N N ∀N ≥ 1, n=1 n=1 n=1 on obtient N N N N 1 X 1 X 1 X 1 X f1 (an ) ≤ lim inf g(an ) ≤ lim sup g(an ) ≤ lim sup f2 (an ) , N →+∞ N N →+∞ N N →+∞ N N →+∞ N lim inf n=1 et comme n=1 n=1 f1 , f2 ∈ FA on en déduit Z 1 Z 1 N N 1 X 1 X f1 (x) dx ≤ lim inf g(an ) ≤ lim sup g(an ) ≤ f2 (x) dx . N →+∞ N N →+∞ N 0 0 n=1 On déduit des hypothèses sur Z n=1 1 0 f1 et f2 n=1 que Z 1 N N 1 X 1 X g(x) dx − ε ≤ lim inf g(an ) ≤ lim sup g(an ) ≤ g(x) dx + ε . N →+∞ N N →+∞ N 0 n=1 Ceci étant valable pour tout ε > 0, n=1 on a donc Z 1 N N 1 X 1 X g(x) dx , lim inf g(an ) = lim sup g(an ) = N →+∞ N N →+∞ N 0 n=1 et on en déduit que 1)c. g n=1 FA . si A est appartient à La condition est nécessaire: équi-répartie alors La condition est susante: supposons que FA FA = E donc FA est dense dans contient une partie dense dans E. Soit g E. un E : pour démontrer que g ∈ FA , il sut de vérier la condition de la question 1).b. ε > 0, puisque FA contient une partie dense dans E il existe un élément f ∈ FA tel que kg − f k ≤ 2ε . On pose f1 := f − 2ε et f2 := f + 2ε , et on vérie que f1 et f2 satisfont bien les conditions de 1).b.: f1 , f2 ∈ FA car FA est un sous-ev de E contenant les constantes, et les deux élément de Soit inégalités découlent directement des choix faits. 2)a. On suppose que FA contient la fonction les fonctions en escalier sur sur I I puisque étant une limite uniforme sur une partie dense de E. I FA hJ pour tout intervalle est un sev de E. J. Alors il contient toutes Toute fonction continue par morceaux de fonctions en escalier, on en déduit que Il découle de la question 1).c que 1 A est équi-répartie. FA contient alors 2 T. CHAMPION 2)b. 0 1ε (x − c) 1 f1 (x) := − 1 (x − d) ε 0 FA Si on suppose que extrémités intervalle 2)c. ε Il sut de prendre, pour J 0 et de 1, I, si si si si si susamment petit: 0 1ε (x − c + ε) 1 et f2 (x) := − 1 (x − d − ε) ε 0 x ∈ [0, c], x ∈ [c, c + ε], x ∈ [c + ε, d − ε], x ∈ [d − ε, d], x ∈ [d, 1], si si si si si x ∈ [0, c − ε], x ∈ [c − ε, c], x ∈ [c, d], x ∈ [d, d + ε], x ∈ [d + ε, 1]. contient toutes les fonctions continues prenant les mêmes valeurs aux alors d'après ce qui précède et 1).b FA A et donc d'après la question 2)a. la suite contient la fonction hJ pour tout est équi-répartie. Il sut de remarquer que N 1 X N (J) hJ (an ) = . N N 1 Z hj (x) dx = d − c et ∀N ≥ 1, 0 n=1 A La conclusion est donc nécessaire (si est équi-répartie alors h J ∈ FA ) et susante (question 2).a.). 3)a. On pose pour an := rn − [rn ] pour tout n ≥ 1, et on remarque que N N 1 X 1 X exp(2 i π k rn ) = exp(2 i π k an ). N N ∀N ≥ 1, n=1 Si R (an ) est équi-répartie et on a Z 1 Z 1 N 1 X lim exp(2 i π k an ) = cos(2 π k x) dx + i sin(2 π k x) dx = 0 . N →+∞ N 0 0 est équi-répartie modulo I n=1 alors n=1 3)b. Soit f une fonction continue sur I prenant les mêmes valeurs en 0 et en 1. Pour N ≥ 1, on note SN : x 7→ N X cn (f ) e2 i π n x σN : x 7→ et n=−N S1 (x) + . . . + SN (x) N est le n-ième coecient de Fourier de f . D'après le théorème de Féjer, la suite de (σN )N ≥1 converge uniformément vers f sur I : puisque FA est un sev de E , ces fonctions sont des éléments FA (en supposant que pour tout k on a C(R, k, N ) → 0). Ceci étant valable pour toutes les fonctions continues sur I prenant les mêmes valeurs en 0 et en 1, on déduit de la question 2)b. que R est équi-répartie modulo I . 3)c. On pose R = (nθ)n≥1 . Si θ est irrationnel, on obtient pour tout k ∈ N∗ : N e2 i π k θ e2 i π k N θ − 1 1 X 2iπknθ e = C(R, k, N ) = → 0 quand N → +∞ , N N (e2 i π k θ − 1) où cn (f ) fonctions n=1 donc d'après la question précédente, Si R θ est rationnel, soit q ∈ N∗ R I dans ce cas. C(R, q, N ) = 1 pour tout N ≥ 1 est équi-répartie modulo tel que qθ ∈ N. Alors et donc n'est pas équi-répartie d'après la question 3)a.. ϕ00 ≤ 0 sur [1, +∞[ , donc ϕ0 est décroissante sur cet intervalle, et comme → 0 quand t → +∞ on en déduit que ϕ0 est positive sur [1, +∞[ . De plus, comme 1/t est 0 négligeable devant ϕ on obtient 1 ∀ε > 0, ∃T, ∀t ≥ T, ≤ ε ϕ0 (t), t 0 et donc ϕ est strictement positive sur [1, +∞[ (car elle décroit vers 0 et ne peut s'annuler pour t grand). 4)a. ϕ0 (t) D'après l'énoncé CORRIGÉ DU SUJET MINES-PONTS 99 - MP 3 n≥1 dn > 0 pour Le théorème des accroissements nis permet de conclure que pour tout [n, n + 1] tel que dn = rn+1 − rn = ϕ(n + 1) − ϕ(n) = ϕ0 (θn ). (dn )n tend vers 0 en décroissant quand n → +∞. De plus Donc θn ∈ n ≥ 1 et il existe tout 1 θn 1 = × → 1 × 0 = 0 quand n → +∞. ndn n θn ϕ(θn ) 4)b. On a (en notant K la constante qui apparaît comme étant une Erreur! dans l'énoncé): N N N N N 1 X 1 X 1 X K X 1 1 π X An − Bn = |dn | (An − Bn ) ≤ dn+1 − dn + N N N N N n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 N N KX 1 1 π X = − + dn N dn+1 dn N n=1 n=1 N K 1 1 π X = − + dn N dN +1 d1 N n=1 D'après la question précédente, 1 N PN n=1 dn →0 puisque dn → 0. 1 N dN +1 → 0, et d'après le résultat de Cesaro on obtient que On en conclut que N N 1 X X 1 lim An − Bn = 0. N →+∞ N N n=1 n=1 Il reste à remarquer que N N 1 X 1 X An+1 An 1 AN +1 A1 Bn = − = − N 2iπN dn+1 dn 2 i π N dN +1 d1 n=1 et comme |AN +1 | = 1, n=1 on conclut comme précédemment que N 1 X lim Bn = 0. N →+∞ N n=1 On déduit de ce qui précède que 4)c. 1 N →+∞ N lim N X An = 0 . n=1 quand N → +∞. Soit k∈ →0 k ϕ, N → +∞ où R = (rn )n≥1 on a C(R, 1, N ) ∗ N , en appliquant les deux questions précédentes à la fonction On a démontré à la question précédente que pour la suite ϕ, on obtient que C(k R, 1, N ) → 0 quand (k rn )n≥1 . Puisque C(k R, 1, N ) = C(R, k, N ), on a donc obtenu que C(R, k, N ) → 0 quand N → +∞ pour tout entier k ≥ 1. D'après la question 3)b., on en conclut que R est équi-répartie modulo I. 5)a. On pose Ψα (t) := lnα (t) sur [1, +∞[ , et on calcule qui satisfait aux mêmes hypothèses que kR est la suite (α − 1) lnα−2 (t) − lnα−1 (t) α α−1 ln (t) et Ψ00α (t) = α . t t2 α−1 , +∞[ et vérie La fonction Ψα est à valeurs positives, elle est concave sur l'intervalle [e 1 0 0 Ψα (t) = o(t). On a de plus t = o(Ψα (t)) dès que α > 1. Puisque seul le comportement asymptotique de Aα intervient dans l'étude de l'équi-répartition, α−1 )] + 1 (où [ . ] désigne la partie entière), rang ne considérer cette suite qu'à partir du rang [(e à partir duquel Ψα est concave, permet de conclure d'après la question 4 que pour α > 1 la suite Aα est équi-répartie. Ψ0α (t) = 4 T. CHAMPION 5)b. Une primitive de 5)c. On calcule f : x 7→ e2 i π ln(x) |e2 i π ln(x) | = 1 R∗+ est F : x 7→ Z 1 N 2 i π ln(x) 1 e dx = 2πN N 1 |IN | = car sur pour tout réel x ≥ 1. Donc 1 2iπ e2 i π ln(x) . h 2 i π ln(x) iN e ≤ 1 πN 1 lim |IN | = 0. N →+∞ On a aussi |LN − IN | = 1 N = 1 N = 1 N Z N N X e2 i π ln(n) − e2 i π ln(x) dx 1 n=1 Z n N X 2 i π ln(n) 2 i π ln(x) e − e dx 1 + n−1 n=2 Z n N X x e2 i π ln(n) 1 − e2 i π ln( n ) dx . 1 + n−1 n=2 Il reste à remarquer que Z n x 1 − e2 i π ln( n ) → 0 quand n → +∞. n−1 En eet Z n x ) 2 i π ln( n 1−e n−1 Z n 2 i π ln(1+ x−n ) n dx = 1−e dx n−1 Z n x−n ≤ 1 − e2 i π ln(1+ n ) dx n−1 Z n x − n ≤ 1 − cos(2 π ln(1 + n )) n−1 x − n + 0 − sin(2 π ln(1 + )) dx n Z n x − n 4π ≤ 2 × 2 π 0 − dx ≤ → 0 quand n → +∞ , n n n−1 où on a appliqué l'inégalité des accroissements nis aux fonctions x 7→ sin(2 π ln(1 + x)) entre 0 et x−n n , éléments de fonctions est majorée en valeur absolue par [0, 1], x 7→ cos(2 π ln(1 + x)) et intervalle sur lequel la dérivée de ces 2 π. |LN − IN | → 0 quand N → +∞, et donc LN → 0 quand C(A1 , 1, N ) → 0 quand N → +∞. On conclut du résultat de Cesaro que N → +∞. On a donc prouvé que Il reste à voir que les calculs eectués précédemment s'adaptent aussi pour prouver que C(A1 , k, N ) → 0 équi-répartie. quand N → +∞ pour tout entier k ≥ 1. On en déduit que A1 est aussi