ETUDE DU SIGNE D`UN POLYNOME OU D`UNE FONCTION

ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE
1°) Polynôme de degré 1.
Pour étudier le signe de a x + b (avec a ≠ 0) , on calcule la racine de ce polynôme, c'est-à-dire la valeur de x
b
b
qui annule a x + b : x = - . Pour x > - on a : a x + b du signe de a.
a
a
b
x
-∞
+∞
a
a x+b
Signe de – a
0
signe de a
5
Exemple f (x) = - 3 x + 5 s’annule pour - 3 x = -5 ou x =
ici a = -3
3
5
x
-∞
+∞
3
-3x+5
Signe de -a donc + 0 signe de a donc –
2°) Polynôme de degré 2. a x ² + b x + c (a ≠ 0).
On cherche aussi les racines de ce polynôme : pour cela, on calcule le discriminant ∆ = b² – 4 a c.
Ø Si ∆ <0 , f(x) = a x² + b x + c ne s’annule pas, il a toujours le signe de a.
x
a x² + b x + c
-∞
+∞
signe de a
Ø Si ∆ >0 , f(x) = a x² + b x + c s’annule pour x = x1 et pour x = x2
-b+ ∆
-b– ∆
Les racines valent
et
appelons ici x1 la plus petite.
2a
2a
x
-∞
x1
x2
a x² + b x + c
signe de a
0 signe de - a
0
signe de a
Remarque : après le dernier 0 on le signe de a comme dans le 1°
Ø Si ∆ = 0 , f(x) = a x² + b x + c s’annule pour une seule valeur x = x
-∞
a x² + b x + c
b
2a
0
signe de a
-
+∞
b
et il a toujours le signe de a.
2a
+∞
3°) Polynôme produit.
On fait un tableau de signes.
Exemple f (x) = ( 2 x + 6 ) ( - 3 x + 9) ( 4 x + 8) .
2 x + 6 s’annule pour x = - 3
-3 x + 9 s’annule pour x = 3
4 x + 8 s’annule pour x = - 2
x
2x+6
-3x+9
4x+8
f (x)
-∞
–
+
–
+
-3
0
0
-2
+
+
–
–
0
0
4°) Quotient
-x + 5
défini sur IR – {4} .
2x-8
x
-∞
4
5
+∞
-x +5
+
+
0
–
2x–8
–
0
+
+
f (x)
–
+
0
–
La valeur 4 est interdite ( on ne peut pas diviser par 0) , on met une double barre.
Exemple : f (x) =
+∞
3
+
+
+
+
0
0
+
–
+
–
ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE
EXERCICES
Ex 1 Faire les tableaux de signes pour
a) 3 x – 12
b) - 3 x + 8 c) 6 x – 17
d) – 2 x 3 + π
Ex 2 Faire les tableaux de signes pour
a) 2 x ² – 6 x + 4
b) -3 x² + 7 x – 5
c) -5 x² – 10 x – 5
d) -3 x² – 5 x + 4
e) ( -3 x + 7) ²
Ex 3 Faire les tableaux de signes pour
a) ( 3 x – 6) (-2 x + 8) ( 4 x – 12)
b) (- 3 x + 6) ( -2 x² – 2 x + 24)
Ex 4 Faire les tableaux de signes pour
-3 x + 7
( 3 x – 12) ( - 6 x + 18)
a)
b)
2 x -8
(x +5)
c)
-2 ( x – 7)
( -3 x – 9)
d)
-3
(x – 7)²
e)
2 x² – 6 x + 4
(- 3 x + 7)
ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE
EXERCICES
Ex 1 Faire les tableaux de signes pour
a) 3 x – 12
b) - 3 x + 8 c) 6 x – 17
d) – 2 x 3 + π
Ex 2 Faire les tableaux de signes pour
a) 2 x ² – 6 x + 4
b) -3 x² + 7 x – 5
c) -5 x² – 10 x – 5
d) -3 x² – 5 x + 4
e) ( -3 x + 7) ²
Ex 3 Faire les tableaux de signes pour
a) ( 3 x – 6) (-2 x + 8) ( 4 x – 12)
b) (- 3 x + 6) ( -2 x² – 2 x + 24)
Ex 4 Faire les tableaux de signes pour
-3 x + 7
( 3 x – 12) ( - 6 x + 18)
a)
b)
2 x -8
(x +5)
c)
-2 ( x – 7)
( -3 x – 9)
d)
-3
(x – 7)²
e)
2 x² – 6 x + 4
(- 3 x + 7)
ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE
EXERCICES
Ex 1 Faire les tableaux de signes pour
a) 3 x – 12
b) - 3 x + 8 c) 6 x – 17
d) – 2 x 3 + π
Ex 2 Faire les tableaux de signes pour
a) 2 x ² – 6 x + 4
b) -3 x² + 7 x – 5
c) -5 x² – 10 x – 5
d) -3 x² – 5 x + 4
e) ( -3 x + 7) ²
Ex 3 Faire les tableaux de signes pour
a) ( 3 x – 6) (-2 x + 8) ( 4 x – 12)
b) (- 3 x + 6) ( -2 x² – 2 x + 24)
Ex 4 Faire les tableaux de signes pour
-3 x + 7
( 3 x – 12) ( - 6 x + 18)
a)
b)
2 x -8
(x +5)
c)
-2 ( x – 7)
( -3 x – 9)
d)
-3
(x – 7)²
e)
2 x² – 6 x + 4
(- 3 x + 7)