Première STMG - Fonction polynôme de degré 3

Fonction polynôme de degré trois.
Fonction dérivée
I) Définition
On appelle fonction polynôme de degré 3, toute fonction polynôme de la
forme :
²
où , , et sont des réels avec Exemples :
2
polynômes de degré 3.
3
4
5 ²
1 sont des fonctions
2
2 3 n’est pas une fonction polynôme.
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II) Fonction dérivée d’une fonction polynome de degré
trois
Soit
une fonction polynôme de degré 3 définie sur
où ,
²
,
et
:
sont des réels avec La fonction dérivée de , notée ’, est la fonction définie sur
′
par :
+c
²
Exemples :
Exemple 1:
Soit
3
Exemple 2:
2
– 9
2
2
Alors
6
Exemple 3:
Soit
Alors ′
12
9
18
12
2
Soit
3
Alors
3
2
3
12
Exemple 4:
– 1
3 ²
Soit
3 ²
3
1
III) Application à l’étude des variations d’une fonction
1) Théorème
Soit
une fonction polynôme de degré 3:
• Si
pour tout d’un intervalle I, alors est croissante sur cet
intervalle.
• Si
pour tout
intervalle.
d’un intervalle I, alors
est décroissante sur cet
2) Exemples d’étude de fonction polynôme de degré 3
Exemple 1:
Soit
2
Alors
– 9
6
12
2
18
12
Etudions le signe de
:
18
6
∆
18²
12
4
0
6
12
36
= 0 a deux solutions :
=
= 2 et
=
√
=
et
√
=
=1
0 a pour solution 1 et 2
On obtient le tableau de variation suivant :
∞
Signe de
′
2
9
2
0
0
∞
3
Variation
de
1
1
2
12
2
3 et
2
2
8
9
4
12
2
2
2
Exemple 2:
Soit
3
Alors ′
3
2
3
:
Etudions le signe de
3
3
∆
0
36
= 0 a deux solutions :
=
= -1 et
=
=
√
et
=
=1
0 a pour solutions -1 et 1
On obtient le tableau de variation suivant :
√
1
1
0
0
∞
Signe de
′
4
Variation
de
1
1
0
3
0 et
2
1
1
3
2
4
Exemple 3:
Soit
Alors ′
′
– 1
3
0 pour
et
On obtient le tableau de variation suivant :
∞
0
∞
Signe de
′
0
Variation
de
0
1
1
Exemple 4:
Soit
Alors ′
3
3
1
pour tout
de
.
On obtient le tableau de variation suivant :
∞
∞
Signe de
′
Variation
de
0
∞