feuille 1 - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Exercices pour démarrer en Analyse
Problématique de type «dictionnaire»
Exercice 1 (Dessiner c’est gagner) Construire le graphe d’une fonction f définie sur [1, 4] vérifiant f (1) =
−2 et f (4) = 5 dans les cas suivants :
1. L’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans [1, 4].
2. L’équation f (x) = 0 admet trois solutions dans [1, 4].
3. Le nombre 0 admet deux antécédents dans [1, 4].
4. L’équation f (x) = 0 n’admet pas de solutions dans [1, 4].
5. f ([1, 4]) = [−3, 5].
Exercice 2 (Fonctions associées)
1. Tracer sans calculatrice l’allure des courbes des fonctions suivantes :
f (x) = 5(x − 2)2 − 3,
g(x) =
5
+ 3,
x−2
√
h(x) = −2 x + 5 + 3.
2. Démontrer par le calcul que la fonction g admet un centre de symétrie que l’on précisera.
3. Soit f : R → R et a ∈ R. Expliquer comment on trace la courbe des fonctions suivantes à partir de celle
de f :
x 7→ −f (x) + a et x →
7 f (a − x).
Exercice 3 Démontrer que la tangente à la courbe C d’équation y = −x4 + 2x2 + x au point A(−1, 0) est aussi
tangente à C en un autre point que l’on précisera.
Exercice 4 Pour m ∈ R, on considère la fonction fm définie sur R par
fm (x) =
x+m
.
x2 + 1
On note Cm la courbe représentative de fm .
1. Démontrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 0 sont parallèles.
2. Démontrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 1 sont concourantes.
Exercice 5 (Monster’s killer) La figure ci-contre représente un écran de jeu vidéo. Un avion remonte à
l’écran de gauche à droite en suivant la courbe d’équation y = −1 − x1 . L’avion peut tirer des missiles selon
la tangente à sa trajectoire. En quels points de sa trajectoire l’avion doit-il tirer ses missiles pour abattre
successivement les quatre monstres situés en haut de l’écran en (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0) ?
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Continuité, dérivabilité, monotonie...
Exercice 6 Étudier, sans calcul de dérivée, la monotonie des fonction suivantes :
1. g : x 7→ cos x1 sur [ 15 , 41 ].
2. f : x 7→ exp((x − 2)2 + 1)
Exercice 7 Dans les trois cas suivants, étudier la continuité et la dérivabilité en 1 de la fonction f définie sur
R par :
1. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x + 1 sinon.
2. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x − 5 sinon.
3. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 2x − 4 sinon.
Exercice 8 Étudier la dérivabilités des fonctions suivantes définies par :
1. f (x) =
2. x 7→
√
x3 , g(x) =
√
x2 , h(x) = |x3 |, i(x) = |x4 |.
√
1
et x 7→ x5 − 3x4 + 2x3 .
1 + |x|
Exercice 9 Soit f, g, h trois fonctions dérivables de R dans R. Donner la dérivée de la fonction f ◦ g ◦ h.
Exercice 10 Sans se soucier des ensembles de dérivation, calculer la dérivée des fonctions :
r
x
2
3
.
f (x) = (ln x + 3x) , g(x) = exp(sin(x )), h(x) =
x−1
Exercice 11 Soit n ∈ N. Calculer la dérivée n-ième des fonctions
√
1. x 7→ 1 + 2x 2. x 7→ x2 e3x .
Étude de fonctions
Exercice 12 (Une inégalité classique)
1. Démontrer que pour tout x > 0, on a ln x 6 x − 1.
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 1. En déduire une interprétation
graphique de l’inégalité précédente.
3. Proposer aussi une majoration de ln(1 + x) pour x > −1.
Exercice 13 (une étude modèle) On pose f : x 7→ ln(ex − 1).
1. Donner l’ensemble de définition de f , les variations et les limites de f .
2. Déterminer le (ou les) point(s) où la courbe de f coupe l’axe des abscisses. Préciser la tangente en ce (ou
ces) point(s).
3. Montrer que la courbe de f admet des asymptotes en +∞ et préciser la position.
Exercice 14 (Une étude de fonction) On considère la fonction f : x 7→
√
x5 − x3 .
1. Donner son ensemble de définition.
2. Étudier la dérivabilité de f en 0 et en 1.
3. Justifier que f est dérivable sur un certain ensemble et calculer sa dérivée.
4. Donner le tableau de variation complet de f . Donner la nature de la branche infinie.
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5. Tracer l’allure de la courbe de f (on peut utiliser librement que la courbe de f admet une tangente
verticale au point d’abscisse −1). On ne demande pas de tracé précis mais on fera figurer toutes les
tangentes remarquables...
Exercice 15 (Un dessin) On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = |x − 1| + |x − 2|.
1. Représenter graphiquement la fonction f (sans calculatrice).
2. La fonction f est-elle dérivable ?
3. Étudier les minimums de f .
Divers
Exercice 16 (Une inégalité) Le but de l’exercice est de résoudre l’inéquation x − 1 6
√
x + 2 (E).
1. Résoudre graphiquement cette inéquation (sans calculatrice).
2. Soit a et b des réels. A-t-on a 6 b ⇔ a2 6 b2 ? Sinon, proposer une autre équivalence.
3. Résoudre alors (E) par le calcul en utilisant des équivalences.
Exercice 17 Représenter une fonction continue sur R, et dérivable sur R \ Z exactement.
Exercice 18
1. Construire une fonction continue f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[ mais non
dérivable en 0.
2. Construire une fonction dérivable f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[.
3. Construire une fonction deux-fois dérivable f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[.
Exercice 19 (Un vrai-faux)
1. La fonction x 7→ ln(x2 + 1) est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R.
√
2. La fonction x 7→ x − 1 est dérivable sur [−1, ∞[ comme composée de fonctions dérivables.
3. Soit a et b des réels. Si a 6 b, alors a2 6 b2 .
4. Soit a et b des réels. On a |a − b| 6 |a| − |b|.
5. La fonction inverse est décroissante sur R∗ .
6. Soit r > 0 et a et x des réels. On a :
|x − a| 6 r ⇔ a − r 6 x 6 a + r.
7. La somme de deux fonctions croissantes sur I est une fonction croissante sur I.
8. Le produit de deux fonctions croissantes sur I est une fonction croissante sur I.
9. «Une asymptote ne coupe jamais la courbe».
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Un peu de technique avec ln et exp
Exercice 20 Résoudre dans R les équations :
1. ln(x2 − 1) + ln 4 = ln(4x − 1).
2. e2x − 3ex + 2 = 0.
√
3. x
x
=
√
xx .
Exercice 21 Déterminer la dérivée sur ]0, +∞[ des fonctions f suivantes définies par :
1. f (x) = ln(x5 )
2. f (x) = xx
2
3. f (x) = ex x
Exercice 22 (Quelques limites) Les questions sont indépendantes.
x
1. Déterminer les limites lorsque x tend vers 0 de (xx )x et x(x ) .
2
2. Déterminer la limite en 0 de exp(−1/x2 ) puis de (exp(−1/x2 ))x . Peut-on donner un sens à 0 puissance
0?
3. Comparer les comportements au voisinage +∞ de ex et xx .
Plus délicat
Exercice 23 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = xb x1 c si x 6= 0 et si f (0) = 1.
1. Démontrer à l’aide d’un encadrement que f est continue en 0.
2. La fonction f est-elle continue en 2 et en
1
2
?
Exercice 24 (Une technique classique) Soit n ∈ N.
1. Calculer
n
X
n
k
en dérivant de deux façons différentes la fonction f : x 7→ (1 + x)n .
k
k=0
2. Calculer aussi
n
X
k=0
1
n
(on pourra intégrer entre 0 et 1).
k+1 k
Exercice 25 (Une identité binomiale) Soit n ∈ N∗
1. Soit k ∈ N avec k 6 n. Calculer la dérivée k-ième de la fonction x 7→ xn .
2. En déduire en calculant de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x2n , que :
n 2
X
n
k=0
k
=
2n
.
n
Exercice 26 (Une équation fonctionnelle) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f
dérivables de R dans R vérifiant l’égalité :
(?)
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x + y) = f (x) + f (y).
Pour cela on mène un raisonnement par «analyse-synthèse».
Analyse : dans les questions 1., 2. et 3., f désigne une fonction dérivable de R dans R vérifiant l’égalité (?).
1. Déterminer f (0).
2. Démontrer que ∀x ∈ R, f 0 (x) = f 0 (0).
3. Que peut-on en déduire pour f ?
4. Synthèse : conclure.