Calcul de dérivées

Calcul de dérivées
A. Utilisation de la définition
1- Trouver le nombre dérivé des fonctions carré, inverse et racine carrée en un réel a.
2- Approximations affines
Donner une valeur approchée des nombres suivants en utilisant une approximation affine :
A = 1,042 ; B = 0,982 ; C = 1/1,03 ; D = 1/0,94 ; E = 1/1,03
3- Equations de tangentes
a) Soit H l'hyperbole d'équation y = 1/x.
Déterminer l'équation de la tangente à H au point A d'abscisse 2, puis calculer les
coordonnées des points E et F, intersections de cette tangente avec les axes.
Que remarque-t-on à propos des points A, E et F ?
Peut-on généraliser ?
b) Soit P la parabole d'équation y = x2.
- On considère la droite D d'équation y = ax + b. A quelle condition sur a et b la droite D a-telle des points communs avec P ?
- Dans le cas où D et P n'ont qu'un seul point commun, montrer que D est une tangente à P.
- Dans le cas où D coupe P en 2 points M1 et M2 d'abscisses x1 et x2, montrer que la tangente à
x +x
P au point d'abscisse 1 2 est parallèle à (M1M2).
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B. Dérivées et variations
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée et étudier ses variations sur son
ensemble de définition.
1- Fonctions polynômes
a) f(x) = –x2 + 3x + 5
b) f(x) = x3 – 3x + 2
c) f(x) = –x3 + 2x2 – 1
d) f(x) = 2x3 +3x2 – 12x – 8
2- Fractions rationnelles
2 x +5
sur ℝ-{3}
x−3
10 x
b) f  x= 2
x 1
−x 3 5 x
c) f  x= 2
x 3
a) f ( x )=
C. Problème de dérivabilité en un point
1) Question préliminaire : montrer que la fonction √ x est dérivable en tout réel a > 0.
2) On considère la fonction f définie par f ( x)=x √ x sur [0 ; +∞[. Montrer que cette fonction
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est dérivable sur ]0 ; +∞[ et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
3) Cette fonction est aussi définie en 0. Est-elle dérivable en 0 ?
D. Dérivée d'une fonction composée
Pour chacune des fonctions f suivantes déterminer les fonctions g et u telles que f = g(u), puis
calculer f '(x) :
a) f ( x)=√ 3x 2+5
b) f ( x)=sin (3 x−1)
1
c) f ( x)= 2
x +5
2+ x
d) f ( x)=
sur ]-2 ; 2[
2− x
e) f ( x)=cos ( √ x ) sur ]0 ; +∞[
√
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