Les dérivées en Sciences Physiques

Les dérivées en Sciences Physiques
I/ Présentation :
peut se noter : a =
En maths, la notation y = f(x) signifie que y est une grandeur qui dépend d’une
autre grandeur x.
Sa dérivée première se note y’(x) et sa dérivée seconde y’’(x).
Cet outil est utilisé en sciences physiques avec les mêmes règles de calcul, seules
les notations changent.
Soit x une grandeur (ex : l’avancement) qui dépend du temps.
On la notera x = f(t) ou x(t). Sa dérivée première sera notée
seconde
d²x
.
dt²
dx
et sa dérivée
dt
On retiendra que la valeur de la dérivée en un point M de la courbe
correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point M...
Si vous avez compris cette phrase, vous avez tout compris...
Exemple :
Soit la fonction u = f(t) représenté ci-dessous :
La tangente à la courbe au point M a pour équation : u = at + b. (fonction affine).
Le coefficient directeur a a pour valeur la dérivée de la fonction pour t = tM ce qui
.
t = tM
Cette dérivée peut se calculer (on dérive u par rapport au temps puis on remplace t
par la valeur de tM dans l’expression trouvée).
Elle peut se déterminer graphiquement en déterminant le coefficient directeur de la
tangente sur le graphe ( a =
physiques).
∆u
: méthode souvent employé en sciences
∆t
II/ Exercices : (Distribués en cours)
Exercices sur les dérivées
Soit x, une grandeur qui dépend du temps avec : x = a×t + b
On définit aussi la grandeur u telle que u = c×t
a, b et c sont des constantes.
Calculer les expressions suivantes :
1.
2.
3.
4.
5.
Soit le point M sur cette courbe d’abscisse tM.
du
dt
6.
dx
du
et
dt
dt
2
d x
d 2u
(notation
pour
la
dérivée
seconde)
et
dt 2
dt 2
d (3 x)
dt
d ( x2 ) d 2 ( x2 )
et
dt
dt 2
d ( x.u )
d 2 ( x.u )
et
dt
dt 2
d (h.x)
dt
1
a. Si h est indépendant du temps
b. Si h dépend du temps
3
7. Soit v =
t
dv
a. Calculer
dt
d 2v
b. Calculer 2
dt
8. Soit w = A×sin(ω×t + ϕ)
dw
a. Calculer
dt
d 2w
b. Calculer
dt 2
dv
3
d ²v 3
=−
b.
=
dt
t²
dt ² t 3
dw
d ²w
8. a.
= A.ω.cos(ωt + ϕ ) b.
= − A.ω ².sin(ωt + ϕ )
dt
dt ²
7. a.
Astuce (de physicien d’accord mais rudement pratique...) :
sin commence par un « s » : sa dérivée est simple donc (sinx)’ = cos x
cos commence par un « c » : sa dérivée est compliquée donc (cos x)’ = - sinx
avec ω et ϕ des constantes
III/ Correction : (Distribuée en cours)
Correction des exercices sur les dérivées
dx
du
= a et
=c
dt
dt
d ²x
d ²u
2.
= 0 et
=c
dt ²
dt ²
d 3x
dx
3.
= 3. = 3a
dt
dt
d ( x ²)
d ²( x ²)
4.
= 2a ²t + 2ab
= 2a ²
dt
dt ²
d ( xu )
d ²( xu )
5.
= 2act + bc
= 2ac
dt
dt ²
d (hx)
d (hx)
dh
6. a.
= ha
b.
= ha + (at + b)
dt
dt
dt
1.
Fiche téléchargée sur http://mbrivet.free.fr
2