CORRIGÉ BAC STD2A Métropole 2013

CORRIGÉ
BAC STD2A
Métropole 2013
EXERCICE 1
Partie A : 1. Pour déterminer les nombres a et b, on utilise les points A et B :
La parabole passe par A( –4 ; 4), donc a(–4) 2 +b(–4) + 4 = 4, soit 16 a –4 b = 0, soit 4a – b = 0 ;
la parabole passe par B(3 ; 9,25), donc a(3)2 +b(3) + 4 = 9,25, soit 9a + 3b = 5,25, soit 3a + b = 1,75 ;
on ajoute les deux équations, et on trouve 7a = 1,75 , soit a = 0,25 ; on remplace cette valeur dans la première
équation et on trouve b = 4×0,25 = 1. Donc a = 0,25 et b = 1.
2. La dérivée de cette fonction est f '(x) = 0,5x + 1 qui s'annule
x
–4
3
–2
pour x = –2 et est négative sur [–4 ; –2] et positive sur
–
0
+
f '(x)
[–2 ; 3]. D'où le tableau de variations :
4
9,25
Le tableau de valeurs :
f(x)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
4
3,25
3
3,25
4
5,25
7
9,25
3
Le tracé complété (voir partie B).
Partie B : 1. a) La dérivée de cette fonction est
−1 2 3
−3 2 3
−3 2
−3
g'(x) =
3x +
=
x +
=
(x –4) =
(x –2)( x + 2).
8
2
8
2
8
8
b) La dérivée s'annule en x = –2 et x = 2 et est du signe de
x –4
−3
< 0 pour les valeurs extérieures à –2 et 2.
a=
8
–
f '(x)
Le tableau de variations :
4
2. Le tableau de valeurs :
2
–2
0
+
0
3
–
4
f(x)
x
g(x)
-4
4
-3
-2
-1
0,875 0 0,625
0
2
1
3,375
2
4
3. On trouve f(– 4) = 4 (Partie A) et
−1
3
g(– 4) =
(– 4)3 +
×(– 4) + 2 =
2
8
8 –6 + 2 = 4.
Donc les courbes représentatives des
fonctions f et g se coupent au point
A(– 4 ; 4).
4. Le tracé complété :
Partie C :
1. a) Le coefficient directeur de la tangente
à P en A est le nombre dérivé
f '(– 4) = 0,5(– 4) + 1 = – 1.
Le coefficient directeur de la tangente à P
en B est le nombre dérivé
f '(3) = 0,5×3 + 1 = 2,5.
b) Le coefficient directeur de la droite (AC)
y A −y C
4−0,5
3,5
est
=
=
= – 1,
−4−(−0,5)
−3,5
x A −x C
est le męme coefficient directeur que la
tangente à P en A ; ces deux droites passent
par A, donc elles sont confondues.
3
3,125
3,5
1,89
0
9,25
yB−yC
9,25−0,5
8,75
=
=
= 2,5, est le męme coefficient
3−(−0,5)
3,5
x B−x C
directeur que la tangente à P en B ; ces deux droites passent par B, donc elles sont confondues.
CB (xB – xC ; yB – yC), soit ⃗
CB (3,5 ; 8,75).
2. a) Coordonnées du vecteur ⃗
⃗
⃗
Coordonnées du vecteur CA (xA – xC ; yA – yC), soit CA (– 3,5 ; 3,5).
CB . ⃗
CA = 3,5×(– 3,5) + 8,75×3,5 = 18,375.
Le produit scalaire est ⃗
⃗
CA = CB×CA×cos( ̂
b) Le produit scalaire est CB . ⃗
ACB .
2
2
On a CB = √ 8,75 +3,5 = 17,5 √ 0,29 ≈ 9,424 et CA = √(−3,5)2 +3,52 = 3,5 √ 2 ≈ 4,9498.
⃗⃗
18,375
̂ = CB⋅CA =
Ainsi cos( ACB
≈ 0,3939.
CB×CA
17,5 √ 0,29×3,5 √ 2
Et l'angle α ≈ cos –1 (0,3939) ≈ 66,8°. Cet angle est compris entre 60° et 70°, donc il se verra décerner le
label « confort + ».
Le coefficient directeur de la droite (BC) est
EXERCICE 2
1. Pour calculer l'aire de cette toile, on calcule la hauteur h du triangle issue de C, à l'aide du théorème de
Pythagore dans le triangle ACH rectangle en H milieu de [AB] :
h2 = CH2 = AC2 –AH 2 = 52 –3,5 2 = 12,75, d'où h = 5 √ 0,51
7×5 √ 0,51
AB×h
et l'aire est égale à
=
≈ 12,497 m2 .
2
2
2. On utilise la formule d'Al Kashi : AC2 = AB2 + BC2 –2AB ×BC×cos( ̂
ABC ) = 49 + 25 –70cos( ̂
ABC ),
̂
soit 25 = 74 –70cos( ABC ) , soit
25−74
49
d'où cos( ̂
=
= 0,7. D'où ̂
ABC ) =
ABC = cos –1 (0,7) ≈ 46°.
−70
70
3. a) Les droites (OS) et (CF) sont verticales, donc parallèles, donc elles sont coplanaires et les quatre points
O, S, C et F sont coplanaires.
b) Construction de l'ombre du poteau FC en utilisant le point d'intersection des droites (OF) et (SC).
c) et d) L'ombre complète.
EXERCICE 3
Partie A :
Le pavage complété :
Partie B :
1.
2.