Dérivation de fonctions, cours, Terminale STI - MathsFG

Dérivation de fonctions, cours, Terminale STI
F.Gaudon
25 juillet 2010
Table des matières
1 Fonctions dérivées, rappels et compléments
2
2 Dérivées de fonctions composées
3
1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
Dérivation de fonctions, cours, classe de terminale STI
1
Fonctions dérivées, rappels et compléments
1.1 Dénitions et propriétés
Dénition et propriétés :
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I . Soit x0 ∈ I .
(x0 )
Si limx→0 f (x0 +h)−f
existe et appartient à R, on dit que la fonction f
h
est dérivable en x0 Cette limite est alors notée f 0 (x0 ) et appelée nombre
dérivé de f en x0 .
La courbe représentative Cf de f dans un repère admet alors pour tangente en M0 (x0 ; f (x0)) la droite T de coecient directeur f 0 (x0 ). T a
pour équation
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
.
Dénition :
Si f est dérivable en tout point x0 d'un intervalle I , on dit que f est
dérivable sur I .
La fonction x 7→ f 0 (x) est appelée fonction dérivée de f et notée f 0 .
1.2 Formules de dérivation
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
√x
x
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f 0 (x)
0
1
m
2x
nxn−1
− x12
1
√
2 x
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
]0; +∞[
u+v
ku, k ∈ R
uv
u0 + v 0
ku0
u0 v + v 0 u
1
v
u
v
−v 0
v2
u0 v−v 0 u
v2
2
Dérivation de fonctions, cours, classe de terminale STI
2
Dérivées de fonctions composées
Théorème :
Si u est une fonction dénie sur un intervalle I et dérivable en x ∈ I
et si f est une fonction dérivable en u(x), alors la fonction dénie par
g(x) = f (u(x)) est dérivable en x et
g 0 (x) = u0 (x) × f 0 (u(x))
. En particulier :
• x 7→ f (ax + b) a pour dérivée x 7→ a × f 0 (ax + b)
• un a pour dérivée nu0 un−1
Exemples :
2
• Soit g la fonction dénie sur R par g(x) = (2−5x)√
. On a g 0 (x) = −5×2×(2−5x)1 = −10(2−5x).
• Soit h la fonction dénie sur ] 54 ; +∞[ par h(x) = 4x − 5, on a pour x ∈] 45 ; +∞[
1
2
h0 (x) = 4 × 2√4x−5
= √4x−5
.
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3