Compléments sur la dérivation, cours, terminale S - MathsFG

Compléments sur la dérivation, cours, terminale S
F.Gaudon
25 mars 2013
Table des matières
1 Fonction dérivée, tangente
2
2 Dérivation de fonctions
3
2.1 Fonctions dérivées usuelles (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Opérations sur la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Compléments sur la dérivation, cours, classe de terminale S
1
Fonction dérivée, tangente
Dénitions :
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I contenant a. Dire que f est
dérivable en a de nombre dérivé f 0 (a), signie que le taux d'accroissement
f (a+h)−f (a)
tend vers f 0 (a) quand h tend vers 0. Lorsque f est dérivable
h
en tout réel a de I , f est dite dérivable sur I et f 0 : x 7→ f 0 (x) pour tout
x ∈ I est appelée fonction dérivée de f sur I .
Propriété :
Dire que f est dérivable en a, signie que la courbe représentative de f
dans un repère admet au point A de coordonnées (a; f (a)) une tangente
T de coecient directeur f 0 (a).
L'équation de la tangente T est alors
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
.
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2.1
Dérivation de fonctions
Fonctions dérivées usuelles (rappel)
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
√x
x
1
xn
2.2
f 0 (x)
0
1
m
2x
nxn−1
− x12
1
√
2 x
1
−n xn+1
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
]0; +∞[
R∗
Opérations sur la dérivation
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. Alors
u + v , ku, uv sont dérivables sur I , uv est dérivable pour tout a ∈ I tel
que v(a) 6= 0 et :
(u + v)0 = u0 + v 0
(k u)0 = k u0
(uv)0 = u0 v + v 0 u
u0 v − v 0 u
u
( )0 =
v
v2
v0
1
( )0 = − 2
v
v
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . Soient a et b deux
réels et J l'ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I . Alors la fonction
g : x 7−→ f (ax + b) est dérivable sur J et pour tout x réel de J ,
g 0 (x) = af 0 (ax + b)
En particulier,
((ax + b)n )0 = a × n(ax + b)n−1
√
a
( ax + b)0 = √
2 ax + b
Preuve :
admise
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Exemple :
• Soit g la fonction dénie sur R par g(x) = (4x − 5)2 . g est dérivable sur R et :
g 0 (x) = 2 × 4 × (4x − 5) = 8(4x − 5) = 3x − 40.
√
• Soit h la fonction dénie sur I =] −1
; +∞[ par h(x) = 5 3x + 1. h est dérivable sur I et :
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= 2√3x+1
.
h0 (x) = 5 × 2√3x+1
Propriété :
• Soit n un entier relatif. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I et ne s'annulant pas sur I dans le cas n < 0. Alors un est dérivable
sur I et :
(un )0 = nu0 un−1
• On considère une fonction u strictement
positive et dérivable sur un
p
intervalle I . La fonction g : x 7→ u(x) est dérivable sur I et :
√
u0
( u)0 = √
2 u
Preuve :
• Preuve dans le cas n ≥ 1 :
Pour n = 1, (u1 )0 = u0 et nu0 un−1 = u0 donc la propriété est vraie au rang 1.
Supposons la propriété vraie pour un rang n ≤ 1, c'est àdire que pour un rang n, (un )0 = nu0 un−1 .
Alors un+1 = u × un donc en utilisant la dérivation de produits (un+1 )0 = (un )0 u + u0 un . En
outre, par hypothèse de récurrence, on a (un ) = nu0 un−1 . D'où (un+1 )0 = nu0 un−1 u + u0 un =
nu0 un + u0 un = (n + 1)u0 un . La propriété est donc vraie au rang n + 1.
Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout n ≤ 1.
• Admise.
Exemple :
Soit g la fonction dénie sur R par g(x) = (5x4 + 7)3 . g est dérivable sur R et :
g 0 (x) = 3 × (5 × 4x3 + 0)(5x4 + 7)2 = 60x3 (5x4 + 7)2
Remarque :
Si u est une fonction dénie sur un intervalle I et dérivable en x ∈ I et si v est une fonction dérivable
en u(x), alors la fonction g dénie par g(x) = v(u(x)) est dérivable en x et :
g 0 (x) = v 0 (u(x)) × u0 (x)
.
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