f ( ) = f x k (avec ∈» ( ) ′ = f x 0 ( ) = + f x mx p (avec ≠ ( ) ′ = f x m

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_FICHE : Chapitre DERIVATION d’une fonction__
I) Taux de variation d’une fonction f sur un intervalle I
Le taux de variation d’une fonction f entre a et b=a+h est le nombre T tel que
f (b) - f (a ) f (a + h) - f (a)
=
avec h ¹ 0
b-a
h
T =
( Remarque : si h < 0 alors a+h < a )
Interprétation graphique de ce nombre T : c’est la pente de la droite (AB) qui est appelée une
sécante à la courbe C f avec le point A de coordonnées : ( a ; f(a) ) et B :( b ; f(b) ) ou ( a+h ; f(a+h) )
II) Nombre dérivé d’une fonction f en a
SI
lim
h®0
f ( a + h) - f ( a )
h
existe (Î ¡ )
ALORS on POSE lim
h ®0
f (a + h) - f (a)
= f ¢(a)
h
ET on dit que la fonction f est dérivable en a
Et si pour tout nombre a appartenant à un intervalle I la fonction f est dérivable en a
on dit que la fonction f est dérivable sur l’intervalle I et on définit sur cet intervalle I
une nouvelle fonction qui s’appelle « fonction dérivée de f » et qui est notée f’
III) Equation de la tangente à une courbe en un point
si f est dérivable en a : L’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse a est :
y = f ¢(a) ( x - a) + f (a) ( la tangente est la limite des sécantes (AB) à la courbe quand B tend vers A )
IV) Fonctions dérivées des fonctions usuelles
D f est le domaine de définition de la fonction f et
D f ¢ est le de dérivabilité de la fonction f
fonction f définie par
Df
fonction dérivée f’ définie par
Df ¢
f ( x) = x 2
¡
¡
¡
f ¢( x ) = 0
f ¢( x) = m
f ¢( x) = 2x
¡
¡
¡
f ( x) = x 3
¡
f ¢( x ) = 3x 2
¡
f ( x) = x n (avec n Î N )
¡
f ¢( x) = nx n-1
¡
1
= x -1
x
1
f ( x) =
= x -2
2
x
¡*
f ¢( x) = ( -1) x -2 =
f ( x ) = k (avec k Î ¡ )
f ( x) = mx + p (avec m ¹ 0 )
f ( x) =
f ( x) = x =
f ( x) =
1
x
=
¡*
1
x2
¡+
-1
x2
¡ +*
f ( x) = x q (avec q Î ¤ )
¡ +*
-1
f ¢( x) = ( -2) x -3 =
f ¢( x) =
f ¢( x) =
1
2
1
-1
x2
f ¢( x) = qx q -1
x
-2
x
¡*
3
-1
=
-1
-1 2 -1
x
2
¡*
2
1 2
1
x =
2
2 x
=
-3
-x 2
2
=
-1
¡ +*
¡ +*
3
2x 2
¡ +*
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V) Opérations sur les fonctions dérivables
Soit u et v 2 fonctions dérivables en x0 Î ¡
alors
la fonction u + v est dérivable en x0
ET les fonctions ku et u ´ v sont dérivables en x0 . ET la fonction
Valeur de la fonction f en x0
1
u
est dérivable en x0 si u ( x0 ) ¹ 0
Valeur de la fonction dérivée de f en x0
Opération
f ( x0 ) = (u + v )( x0 ) = u ( x0 ) + v ( x0 )
f ¢( x0 ) = ku ¢( x0 )
f ¢( x0 ) = u¢( x0 ) + v '( x0 )
(ku )¢ = ku ¢
(u + v )¢ = u ¢ + v '
f ( x0 ) = (u ´ v)( x0 ) = u ( x0 ) ´ v( x0 )
f ¢( x0 ) = u¢( x0 )v( x0 ) + u ( x0 )v '( x0 )
(uv)¢ = u ¢v + uv '
u ( x0 )
æuö
f ( x0 ) = ç ÷ ( x0 ) =
avec v( x0 ) ¹ 0
v ( x0 )
èvø
f ¢( x0 ) =
f ( x0 ) = ku ( x0 )
f ( x0 ) =
(avec k Î ¡ )
1
avec u ( x0 ) ¹ 0
u ( x0 )
f ¢( x0 ) =
æ u ö¢ u ¢v - uv '
ç ÷ =
v2
èvø
u ¢( x0 )v( x0 ) - u ( x0 )v '( x0 )
v 2 ( x0 )
-u ¢( x0 )
u
2
æ 1 ö¢ -u ¢
ç ÷ = 2
èuø u
( x0 )
VI) Dérivation d’une fonction « composée » de 2 fonctions
Soit u une fonction dérivable en x0 Î Du et f une fonction dérivable en u ( x0 ) Î D f
alors la fonction « composée » définie par g = f o u est dérivable en x0
On a : g ( x ) = ( f o u )( x ) = f éë u ( x ) ùû
(
et
)
g¢ ( x ) = ( f o u )¢ ( x ) = f éë u ( x ) ùû ¢ = f ¢ éë u ( x )ùû ´ u¢ ( x )
fonctions f ou g définies par
D f ou Dg
fonctions dérivées f’ ou g’ définies par
D f ¢ ou Dg ¢
¡
f ¢( x) = 2x
¡
Du
g ¢( x ) = 2 ´ u ( x ) ´ u¢ ( x )
Du
f ( x) = x n (avec n Î N )
n
g ( x) = ( u ( x ) )
¡
f ¢( x) = nx n-1
¡
Du
g ¢( x ) = n ( u ( x )
)n-1 ´ u¢ ( x )
Du
g ( x) = u q ( x )
Du et ???
g ¢( x ) = q ( u ( x )
)q -1 ´ u¢ ( x )
Du et ???
Du
g ¢( x ) = 3 ´ u3-1 ( x ) ´ u ¢ ( x ) = 3 ´ u 2 ( x ) ´ u ¢ ( x )
Du et
g ¢( x ) = ( -1) ´ u -1-1 ( x ) ´ u ¢ ( x ) =
f ( x) = x 2
g ( x ) = éëu ( x ) ùû
2
avec
q Τ
g ( x) = u 3 ( x )
g ( x) =
1
= u -1 ( x )
u ( x)
g ( x) = u ( x ) = u
æ1ö
ç ÷
è2ø
u (x ) ¹ 0
Du et
( x)
u (x ) ³ 0
-u ¢ ( x )
u2 x
( )
æ1 ö
-1÷
u¢( x )
1 ç
g ¢( x ) = uè 2 ø ( x ) ´ u ¢ ( x ) =
2
2 u ( x)
Du
Du et
u (x ) ¹ 0
Du et
u (x ) > 0
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VII) Tableau de variation de la fonction f en fonction du signe de f ¢
L’étude du signe de la fonction f ¢ permet une étude des variations
(croissance ou décroissance) de la fonction f sur des intervalles I définis sur ¡ Ì D f
et permet de tracer le TABLEAU DE VARIATION de la fonction f
Propriétés :
Ø Si f '( x0 ) > 0 alors f est strictement croissante sur un voisinage de x0
Ø Si f '( x0 ) < 0 alors f est strictement décroissante sur un voisinage de x0
Ø Si f '( x0 ) = 0 alors C f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0
VIII) Autres notions à comprendre et à retenir :
1 ) Recherche des points appelés des « extremum locaux » à une courbe
Cf
Définition :
Le point A de coordonnées ( a ; f(a) ) est appelé « minimum local » si et seulement si
f ( a) £ f ( x ) sur un voisinage de a
Le point A de coordonnées ( a ; f(a) ) est appelé « maximum local » si et seulement si
f ( a) ³ f ( x ) sur un voisinage de a
Propriété : Si la fonction f est une fonction dérivable et « est définie autour de a » alors :
le point A de coordonnées ( a ; f(a) ) est un « extremum local » si et seulement si
f ¢(a) = 0 (. tangente horizontale ) et si f ¢( x ) change de signe en a ( changement de monotonie )__
Remarque n° 1 : si a Î ¡ est une borne de D f alors on considère que le point A de coordonnées
( a ; f(a) ) est un « extremum local » à la courbe C f quel que soit f ¢
Remarque n° 2 : si f ¢( a) = 0 et si f ¢( x ) ne change pas de signe en a alors le point A de coordonnées
( a ; f(a) ) est appelé un « point d’inflexion » ( la tangente traverse la courbe C f )
2 ) Notion de « convexité ou de concavité » d’une fonction f sur un intervalle I
Soit une fonction f 2 FOIS DERIVABLES sur un intervalle I donné Ì D f
Propriété : ( propriété étudiée en classe de Terminale )
Ø Si f ¢¢( x) ³ 0 sur I alors la fonction f est une fonction convexe sur l’intervalle I
La courbe C f est « au-dessus » de toutes les tangentes à C f sur l’intervalle I
Commentaire : On dit que la courbe C f est orientée vers « le haut »
Ø Si f ¢¢( x) £ 0 sur I alors la fonction f est une fonction concave sur l’intervalle I
La courbe C f est « au-dessous » de toutes les tangentes à C f sur l’intervalle I
Commentaire : On dit que la courbe C f est orientée vers « le bas »
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