Fonction exponentielle – Dérivation Exercices corrigés

Transcription

Fonction exponentielle – Dérivation
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)









Exercice 1 : continuité et dérivabilité en
Exercice 2 : opérations de dérivation avec
Exercice 3 : limite d’un taux d’accroissement et dérivabilité de la fonction exponentielle en
Exercice 4 : dérivée d’une fonction de la forme
Exercice 5 : dérivée énième d’une fonction
Exercice 6 : signe d’une dérivée et tableau de variation (et croissances comparées)
Exercice 7 : nombre dérivé et équation de tangente en un point
Exercice 8 : dérivation et corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (et algorithme)
Exercice 9 : tangente hyperbolique
Fonction exponentielle – Dérivation – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Exercice 1 (2 questions)
Soit la fonction
Niveau : moyen
définie sur
1) Montrer que
par
si
et
.
est continue en .
2) La fonction
est-elle dérivable en
Correction de l’exercice 1
?
Retour au menu
1) Etudions la continuité de
en 0.
Rappel : Continuité en un point
Soit une fonction
seulement si
définie sur un intervalle
a une limite en
D’une part,
et soit
un réel de . La fonction
est continue en
, c’est-à-dire si et seulement si
égale à
.
si et
.
Rappel : Limite de la composée de deux
fonctions
D’autre part,
et
,
donc, d’après le théorème sur la limite de la
composée de deux fonctions,
et
désignent des réels,
ou
.
et
sont deux fonctions.
.
Si
et si
, alors on a :
.
Ainsi, par produit des limites,
et
⏟
donc
2) Etudions la dérivabilité de
⏟
. Autrement dit, la fonction
est continue en .
en .
Rappel : Dérivabilité en un point et nombre dérivé
Soit
une fonction définie sur .
est dérivable en
Autrement dit,
et
(
) désignent deux réels de .
si et seulement si la fonction
est dérivable en
si et seulement si
Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé et noté
(
)
(
⏟
admet un nombre réel pour limite en .
)
. Ainsi,
.
(
)
.
2
Le taux d’accroissement de
Comme
existe et
en
est :
(résultat obtenu à la question précédente),
est dérivable en . Autrement dit,
.
Remarques :
 On peut montrer de même que la fonction est continue et dérivable en tous points de l’intervalle
.
 Toute fonction dérivable en un point
(respectivement sur un intervalle ) est continue en
(respectivement sur ). Attention ! La réciproque est fausse.
 La dérivabilité d'une fonction ne s’étudie qu'en des points où la fonction est continue.
3
Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies par :
1)
2)
3)
Retour au menu
Rappel : Opérations de dérivation
Soient
et
deux fonctions dérivables sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) et soit
Somme de deux
Différence de deux
Produit d’une
Produit de deux
fonctions
fonctions
fonction par un réel
fonctions
un réel.
Quotient de deux
fonctions (
)
.
1) Etudions la dérivabilité de la fonction
et déterminons sa dérivée
.
La fonction est la somme de trois fonctions de référence : la fonction carré, dérivable sur , la fonction
inverse, dérivable sur
et la fonction exponentielle, dérivable sur . Ainsi, la fonction est dérivable sur .
Pour tout
, on a :
Rappel : Dérivabilité et dérivée de la fonction exponentielle
La fonction
est dérivable sur
La fonction est le produit de la fonction
fonctions sinus et cosinus, dérivables sur , par la fonction
Ainsi, la fonction est dérivable sur .
Pour tout
et, pour tout
réel,
.
.
, dérivable sur comme étant la somme des
, fonction exponentielle dérivable sur .
on a :
⏟
⏟
⏟
⏟
.
La fonction est le quotient de la fonction
, dérivable sur
Ainsi, la fonction est définie et dérivable si et seulement si
.
, par la fonction
.
4
Rappel : Equation de la forme
Soient
et
deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .
Pour tout réel
,
si et seulement si
Résolvons l’équation
dérivabilité, de la fonction .
.
pour connaitre l’ensemble de définition, et par conséquent l’ensemble de
.
Pour tout
,
est définie et dérivable et on a :
⏞ ⏞
⏞
⏞
(
)
⏟
(
)
5
Niveau : facile
Quelle est la limite, lorsque
tend vers 0, du quotient
?
Retour au menu
Comme la fonction exponentielle est continue sur
vient immédiatement que
Par conséquent,
donc continue en ,
. Ainsi,
. Il
.
est une forme indéterminée du type . Levons cette indétermination en mettant en
évidence un taux d’accroissement.
On reconnait ici l’écriture de la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en , qui n’est autre
que le nombre dérivé de l’exponentielle en .
Comme, pour tout réel ,
et comme
, il s’ensuit que :
Remarque : Cette limite est à connaître car elle peut s’avérer très utile dans certains exercices…
6
Niveau : facile
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies par :
2)
1)
3)
Retour au menu
Rappel : Dérivée de la fonction composée
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) . La fonction
,(
dérivable sur et, pour tout
)
.
Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout
1) Soit la fonction
⏟
définie par
est
,
et
.
.
La fonction est définie et dérivable sur
comme étant la composée de la fonction
fonction polynôme dérivable sur , par la fonction exponentielle, dérivable sur .
Pour tout
, d’où
,
2) Soit la fonction
La fonction
⏟
⏟
comme étant la composée de la fonction
dérivable sur
, par la fonction exponentielle, dérivable sur
Pour tout
,
, d’où
⏟
⏟
définie par
La fonction
est définie et dérivable sur
trigonométriques
et
dérivable sur .
Pour tout
,
⏟
⏟
.
⏟.
définie par
est définie et dérivable sur
3) Soit la fonction
,
, fonction inverse
.
⏟ .
.
comme étant la composée de la somme de deux fonctions
, dérivables sur , par la fonction exponentielle,
, d’où
⏟
⏟
.
7
Soit
Niveau : difficile
la fonction définie sur
par
1) Démontrer que, pour tout
.
(
√
réel,
2) Montrer que, pour tout réel,
3) Déterminer la dérivée d’ordre
où
de la fonction .
).
et
sont deux constantes à déterminer.
1) Pour tout
Retour au menu
réel,
√ (
√
√
Rappel : Formules trigonométriques d’addition
)
Pour tous réels
√ (
( )
( )
)
et ,


√
(
)
2) Déterminons
, dérivée de .
D’une part, la fonction
est dérivable sur et, pour tout
est dérivable sur et, pour tout réel,
comme étant le produit des fonctions et , dérivables sur .
Pour tout
réel,
. D’autre part, la fonction
. Ainsi, la fonction est dérivable sur
,
⏟ ⏟
⏟ ⏟
Or, d’après la question précédente, en posant
(
√
Donc
de la fonction , notée
Tout d’abord, remarquons que la fonction
est la dérivée d’ordre
Déterminons désormais la dérivée d’ordre 2 de , notée
√
).
)
3) Déterminons la dérivée d’ordre
et
(
√
,
(
), dérivables sur
.
√
de . Ainsi,
, dérivable sur
(
).
comme produit des fonctions
.
8
Pour tout
,
⏟ √
⏟
(
)
⏟ (⏟ √
(
))
D’après la première question, en posant
Montrons que, pour tout
√
,
(
√
On remarque donc que
(
)
)).
)
(
√
(
(
(
√
) et
√
,
(
√
(
)
).
).
Rappel : Principe du raisonnement par récurrence
Soit
une proposition définie sur un intervalle de . Soit
Une proposition est un
énoncé, soit vrai, soit faux.
.
Si :
, c’est-à-dire si
1) la proposition
est initialisée à un certain rang
2) la proposition
est héréditaire à partir du rang
est vraie au rang
, c’est-à-dire si, pour
tel que
fixé, on a
l’implication
Alors :
3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que
Soit la proposition
définie sur
par
√
D’après ce qui précède,
.
(
:«
√
(
) donc
) ».
est vraie. Autrement dit, la proposition
est initialisée au rang .
Supposons désormais que, pour
(
√
(
⏟
est alors vraie, c’est-à-dire montrons que
).
,
(
√
est vraie, c’est-à-dire supposons que
,
). Montrons que
√
Pour tout
entier naturel fixé tel que
(
)
(
√
La proposition
√
(√
)
(
(
))
(
))
)
√
(
√
(
√
(
(
))
(
)
(
))
)
est donc vraie. Par conséquent, la proposition
est héréditaire.
9
La proposition
est initialisée au rang
conséquent, pour tout
(
√
,
√
Remarque : Comme
√
et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier
(
. Par
).
(
), il vient finalement que, pour tout
,
).
10
Soit la fonction
Niveau : moyen
définie sur
par
⃗ ⃗ du plan. Soit
orthonormal
. On note
la fonction définie sur
sa courbe représentative dans un repère
par
.
1) Dresser le tableau de variations de .
2) En déduire l’ensemble de définition de .
3) Montrer que admet un extremum sur et en préciser la valeur.
Retour au menu
1) Etudions les variations de la fonction .
La fonction
est dérivable sur comme étant la somme des fonctions
(fonction affine), dérivables sur .
Pour tout
(fonction exponentielle) et
,
Etudions le signe de cette dérivée.
Pour tout
,
Rappel : Inéquation de la forme
Soient
et
deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .
Pour tout réel
Pour tout
,
si et seulement si
.
,
D’où le tableau de signes suivant :
La fonction
est donc décroissante sur
Etudions désormais les limites de

et
en
et croissante sur
et
.
.
donc, par somme,
.
11

donc, par somme, on en est présence d’une forme
et
. Levons l’indétermination en
indéterminée du type
comparée.
en faisant appel à une croissance
Rappel : Croissances comparées
Pour tout
,
On dit que « la fonction exponentielle l’emporte sur les fonctions puissances ».
[ (
⏟
)]
Or,
⏟
Donc,
[ (
Enfin, la fonction
)]
est continue en
⏟
donc
(
⏟
)
existe et
.
D’où le tableau de variations suivant :
Il vient immédiatement que, pour tout
réel,
.
2) Précisons l’ensemble de définition de la fonction .
D’après la question précédente, pour tout réel,
Comme, pour tout réel,
, la fonction
3) Montrons que
, c’est-à-dire
est définie sur
.
ou encore
.
admet un extremum sur .
La fonction est le quotient de la fonction
, dérivable sur
sur . Ainsi, la fonction est dérivable si et seulement si
pour tout réel.
, par la fonction
, dérivable
. Or, d’après la question qui précède,
12
Pour tout
,
⏞
⏞
⏞ ⏞
⏟
(
Comme
)
et
pour tout
réel, il vient que
est du signe de
.
Ainsi, on a le tableau de signes suivant :
La fonction
est donc croissante sur
maximum, atteint en , tel que
. Par ailleurs, elle admet un
.
Remarque : On peut montrer que
représentative de
et décroissante sur
et que
admet deux asymptotes horizontales d’équations
et ainsi en déduire que la courbe
et
.
D’où le tableau de variations ci-contre :
13
Soit la fonction
Niveau : moyen
définie sur
par
.
1) Déterminer les coordonnées du point de , courbe représentative de , telles que la tangente
en soit parallèle à la droite
d’équation
.
2) En déduire une équation de
.
à
Retour au menu
Rappel : Tangente à la courbe d’une fonction en
Soit
une fonction définie sur un intervalle
représentative de
au point
d’abscisse
et dérivable en
est la droite passant par
Une équation de cette tangente est :
. La tangente à la courbe
et de coefficient directeur
.
.
1) Cherchons les coordonnées du point
de , telles que la tangente
à
en
soit parallèle à
.
Les droites
et
sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Or, la droite
)a
a pour équation
donc a pour coefficient directeur . En outre, la tangente
à en (
pour coefficient directeur
donc est la solution de l’équation
.
La fonction est dérivable sur
comme étant le produit des fonctions
dérivables sur . Déterminons la dérivée de et résolvons dans l’équation
Pour tout
et
,
.
réel,
⏟ ⏟
⏟
⏟
⏟
Ainsi, le point
a pour abscisse . Reste à calculer l’ordonnée
Il vient donc que
.
2) Déterminons désormais une équation de la tangente
Une équation de
de .
est :
à
en .
.
14
Traçons dans un repère orthonormé du plan la courbe
ainsi que les droites
et
.
15
Soit la fonction
Niveau : moyen
définie sur
par
.
1) Démontrer que l’équation
admet deux solutions et dans .
2) Ecrire un algorithme permettant à l’utilisateur de donner un encadrement de
et
à
près.
Retour au menu
1) Montrons que l’équation
admet deux solutions
et
dans .
Rappel : Théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)
Si
est une fonction continue et strictement
monotone sur un intervalle
de bornes
et
et en , il existe un unique réel
que
croissante
décroissante
Intervalle
(finies ou infinies), alors, pour tout réel
strictement compris entre les limites de
Monotonie
de
en
de
tel
[
[
]
]
]
]
[
[
.
]
Remarque : Une fonction
unique
de
réalise une bijection de
tel que
dans
 Etude de la limite en
si et seulement si, pour tout
de , il existe un
aux bornes de son ensemble de définition.
:
donc, d’après le théorème sur la limite d’une fonction composée,
et
. Comme
, on aboutit à une forme indéterminée du type
cette indétermination en factorisant par
Pour tout
(croissance comparée) et
(d’où
réel,
) donc, par somme
. D’autre part, d’après ce qui précède,
des limites, on obtient
Ainsi, par produit des limites,
. Levons
.
réel,
D’une part,
[
.
a) Commençons par étudier les limites de la fonction
Pour tout
[ ]
.
.
16
 Etude de la limite en
:
et
. En outre,
. Ainsi, par somme des limites,
.
b) Etudions désormais les variations de la fonction .
est dérivable sur
et, pour tout
réel,
.
D’où le tableau de signes suivant :
Comme
tableau de variations ci-contre :
Sur l’intervalle
, la fonction
[
est continue et strictement décroissante. Ainsi, pour tout
[. Autrement dit, pour tout
[
Comme
existe un unique réel
Sur l’intervalle
[ (car
de
, tel que
En conclusion, l’équation
[
[.
est continue et strictement croissante. Ainsi, pour tout
[. Autrement dit, pour tout
[
,
,
), d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il
, tel que
.
, la fonction
[
Comme
de
, il vient le
,
[
,
[.
[, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel
.
admet deux solutions réelles distinctes
et
telles que
2) Ecrivons avec Algobox un algorithme permettant de donner un encadrement de
et
et
à
.
près.
Proposons un algorithme permettant de rechercher une valeur approchée de la solution de l’équation
sur un intervalle
, par dichotomie, c’est-à-dire par un processus
itératif de recherche où chaque étape découpe un intervalle en deux afin de restreindre l’intervalle de recherche
initial. La fonction
désigne ici la fonction . Avec AlgoBox, elle doit être définie dans l’onglet « Utiliser
une fonction numérique ».
Cet algorithme repose sur la méthode suivante :
i.
On calcule
, le milieu de
.
17
ii.
iii.
Si
sont de même signe (c’est-à-dire si leur produit est
et
positif), alors cela signifie que la solution se trouve dans
. On affecte
alors à
la valeur de
afin de pouvoir continuer le processus. Dans le cas
contraire, la solution se trouve dans
. On affecte alors à
la valeur de
afin de pouvoir continuer le processus.
Le processus continue jusqu'à obtenir un encadrement avec la précision voulue. D’où la présence de la
variable
.
1 VARIABLES
2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE
3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE
4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE
5 moyenne EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 precision PREND_LA_VALEUR 0.00001
8 AFFICHER "Saisir une valeur pour la borne inférieure : "
9 LIRE borne_inferieure
10 AFFICHER borne_inferieure
11 AFFICHER "Saisir une valeur pour la borne supérieure : "
12 LIRE borne_superieure
13 AFFICHER borne_superieure
14 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE
15 DEBUT_TANT_QUE
16 moyenne PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2
17
SI (F1(moyenne)*F1(borne_superieure)>0) ALORS
18
DEBUT_SI
19
borne_superieure PREND_LA_VALEUR moyenne
20
FIN_SI
21
SINON
22
DEBUT_SINON
23
borne_inferieure PREND_LA_VALEUR moyenne
24
FIN_SINON
25
FIN_TANT_QUE
26 AFFICHER borne_inferieure
27 AFFICHER " < solution < "
28 AFFICHER borne_superieure
29 FIN_ALGORITHME
Fonction numérique utilisée :
F1(x)=exp(-x)+x-Math.PI
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
Recherche d’un encadrement de
Recherche d’un encadrement de
***Algorithme lancé***
Saisir une valeur pour la borne inférieure : -10000
Saisir une valeur pour la borne supérieure : 0
-1.5446264 < solution < -1.5446171
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Saisir une valeur pour la borne inférieure : 0
Saisir une valeur pour la borne supérieure : 1e+9
3.0963747 < solution < 3.0963818
***Algorithme terminé***
Des affichages obtenus, on peut conclure que
et que
.
18
Représentons dans un repère orthonormé du plan la fonction
ainsi que les solutions de l’équation
.
Courbe
représentative de
Droite d’équation
19
Niveau : moyen
La fonction tangente hyperbolique, notée
Soit
est définie sur
par :
un réel. Discuter, suivant les valeurs de , le nombre de solutions de l’équation
Retour au menu
Discutons, suivant les valeurs du réel , le nombre de solutions de l’équation
a) Commençons par étudier les limites de la fonction
Pour tout
dans .
dans .
aux bornes de son ensemble de définition.
réel,
Or,
et
. Ainsi,
et
. Finalement, par quotient des limites,
.
Pour tout
réel,
Or,
et
. Ainsi,
et
. Finalement, par quotient des limites,
.
b) Etudions désormais les variations de la fonction
La fonction
est dérivable sur comme étant le quotient de la fonction
strictement positive
, toutes deux dérivables sur .
D’où, pour tout
⏞
par la fonction
réel,
⏞
⏞
⏞
⏞
⏞
⏟
(
)
20
⏞
⏞
Par conséquent, pour tout
⏟
réel,
. Il en résulte que la fonction
Nous venons de montrer que la fonction
ailleurs que
et
.
est continue (car dérivable) et strictement croissante sur et par
. Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs
(c’est-à-dire
intermédiaires, il existe un unique réel
l’équation
est strictement croissante sur
) tel que
admet une unique solution réelle.
Autrement dit,
 si | |
 si | |
, alors l’équation
, alors l’équation
admet une unique solution dans
n’admet pas de solution dans
Courbe
représentative de
| |
Remarque : La fonction
réalise une bijection de
asymptotes horizontales d’équations
et
.
dans
. Sa courbe représentative admet deux
21

Fonction exponentielle – Dérivation Exercices corrigés

Transcription

Documents pareils

x xLn xf + +

Mathématiques : devoir maison n°7

Dérivées usuelles On admet les formules de dérivation pour les

Fonction exponentielle – Encadrement du nombre Exercices corrigés

Première S Contrôle de Mathématiques n°4

septembre 2001

Oral de mathématiques ( obligatoire ) du bac ES : Sujet 5

Cours sur la dérivation

Première ES Cours dérivation 1 I Nombre dérivé et tangente Soit f

Compléments sur la dérivation, cours, terminale S - MathsFG