Chapitre 3 - Dérivation

Un peu d’histoire…
La notion de dérivée a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de
Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme « le quotient ultime de deux
accroissements évanescents ».
C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVIIe siècle, a le
premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les
appelait « touchantes »; le marquis de l’Hospital participera aussi à la fin du XVIIe
siècle à étoffer cette nouvelle théorie, notamment en utilisant la dérivée pour
calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Jean Le Rond d'Alembert.
C'est au XVIII e siècle que d’Alembert introduit la définition plus rigoureuse du
nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme
semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de
d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : n'est pas encore construit
formellement C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX e
siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f’(x), aujourd'hui tout
à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en .
Cours de mathématique en TS d’ Eric ZERBIB , professeur au lycée Pardailhan à Auch, 32000
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I- Nombre dérivé
Approche intuitive
On se donne une courbe d’une fonction continue
Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-àdire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que
l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente.
Si on se donne une abscisse a pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en a le
coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Ce réel donne de précieuses informations
sur le comportement local d'une fonction. Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle,
cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante.
Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.
a. Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim
= a ( nombre fini )
h
0
→
(1)
h
(2) Pour tout h tel que x0+h ∈ I
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + hl + hϕ ( h ) avec lim ϕ ( h ) = 0
h →0
b. Remarque
Si on pose x = x0 + h dans (1) on obtient de manière équivalente lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
=a
x − x0
c. Définitions
On dit que f est dérivable en x0 si l’une des deux propositions précédentes est vérifiée. Le nombre a s’appelle
nombre dérivé de f en x0, on le note f’(x0).
d. Exemple
Montrons que la fonction cube est dérivable en 1.
Pour cela utilisons la deuxième proposition :
(1+h)3= 1 + 3h + 3h² + h3 = 1 + 3h + h(3h+h²) avec lim( 3h + h²) = 0 , d’où la fonction cube est bien dérivable
h →0
en 1, et on retrouve que a = f’(1) = 3 ( rappel : (x3)’=3x² )
Contre-exemple
Montrons que la fonction valeur absolue de x n’est pas dérivable en 0.
Pour cela utilisons la forme équivalente de (1) :
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x
f ( x )− f (0 )
x
= lim+ = lim
=1
+
x →0
x →0 x
0
x −0
x
f ( x )− f (0 )
−x
lim−
= lim
= −1
−
x →0
0
x −0
x
La limite à droite étant différente de la limite à gauche, la limite en 0 n’existe donc pas. D’où f n’est pas
dérivable en ce point. En x = 0 la courbe admet deux demi tangentes, c’est ce qu’on appelle un « point
anguleux ».
e. Interprétation graphique
lim+
Si f est dérivable en x0, la courbe représentative de f admet en A(x0,f(x0)) une tangente T dont le coefficient
directeur est f’(x0) = a.
Une équation de la tangente en x0 est : y = f’(x0)(x-x0) + f(x0)
f. Dérivées successives
Si la fonction dérivée f’ est elle-même dérivable sur I, la fonction dérivée de f’ est appelée dérivée seconde et
est notée f’’ . Si la dérivée seconde est dérivable sa dérivée est notée f’’’… jusqu’à la dérivée d’ordre n qui se
note f(n). (notation de Lagrange)
df
En physique on utilise la notation de Leibniz ( ou écriture différentielle)
qui équivaut, plus rigoureusement
dx
d(f(x))
d²f
dn f
à
pour f’(x),
pour f’’… n pour f(n). Par exemple, en cinématique, lorsque f(t) est la distance
dx
dx²
dx
df(t) d²f(t)
parcourue par un mobile depuis l’instant origine jusqu’à l’instant t, les nombres
et
représentent
dt
dt²
respectivement la vitesse instantanée et l’accélération instantanée du mobile à l’instant t.
2. Tableau des dérivées usuelles
Fonction
f(x)=
a
ax
axn
1
x
x
cosx
sinx
tanx
Fonction dérivée
f’(x) =
0
a
anxn-1
1
x²
1
2x
-sinx
cosx
1
1+tan²x ou
cos²x
Conditions
x ∈ IR
x ∈ IR
n ∈ IN*, x ∈ IR
x ∈ IR*
x ∈ IR*+
x ∈ IR
x ∈ IR
x ≠ π+k π, k ∈ ZZ
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3. Opérations sur les dérivées
Nom
Linéarité
Règle
(λu+µv)’=λu’+µv’
Produit
(uv)’=uv’+u’v
Conditions
Quels que soient les fonctions u et v dérivables
et les réels λ et µ
Quelles que soient les fonctions u et v dérivables
-u’
u²
vu’-uv’
Quotient
(u/v)’=
v²
n
Puissance (u )’= nu’un-1
u’
Racine
( u)’=
2 u
Composée (vou)’(x) =u’(x) × v’(u(x))
Inverse
(1/u)’=
(sinu)’=u’cosu
(cosu)’=-u’sinu
Pour tout x tel que u(x) ≠ 0 et u dérivable
u et v dérivables et v(x) ≠ 0
∀ n∈ZZ*, et même ∀ n ∈ IR si u est strictement positive
Pour tout x tel que u(x) > 0
Si u est dérivable sur I et v dérivable sur u(I) alors
vou est dérivable sur I
u dérivable
u dérivable
4. Dérivabilité et continuité
Propriété : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I
f(x)-f(x0)
= a donc lim f(x) = lim [a(x-x0) + f(x0)]= f(x0) ce qui prouve
x → x0 x-x0
x → x0
x → x0
En effet si f est dérivable en x0 lim
que f est continue en x0.
La réciproque est fausse !!!
Contre-exemple : la fonction racine est continue en 0 ( 0 = 0 = lim x) mais n’est pas dérivable en 0
x→0
x- 0
1
( lim
= lim
= +∞ )
x → 0 x-0
x→0 x
5. Applications de la fonction dérivée
a. DERIVEE ET SENS DE VARIATION
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) ≥ 0
• Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) ≤ 0
• Si f est constante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) = 0
Démonstration : ( de la première propriété … les deux autres se démontrent de la même façon )
Soit x ∈ I et h ∈ IR* tel que x + h ∈ I .
f est croissante sur I ; elle conserve donc le sens des inégalités.
Ainsi les différences f ( x + h ) – f ( x ) et ( x + h ) – x ont le même signe .
f(x+h) – f(x)
On en déduit que le rapport
est toujours positif .
h
f(x+h) – f(x)
admet une limite finie f’(x) quand h tend vers 0.
f est dérivable en x donc
h
f(x+h) – f(x)
Si l’on donne à h des valeurs proches de 0, alors
prend des valeurs positives et sa limite en 0 est
h
donc nécessairement positive . On a donc f ’ ( x ) ≥ 0.
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Théorème 2 (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si pour tout x de I , f ’( x ) ≥ 0 , alors f est croissante sur I.
• Si pour tout x de I , f ’( x ) ≤ 0 , alors f est décroissante sur I.
• Si pour tout x de I , f ’( x ) = 0 , alors f est constante sur I .
Remarque : Si la dérivée f’ est strictement positive sur I , sauf peut-être en un nombre fini de réels où elle
s’annule, alors f est strictement croissante sur I . Si la dérivée f’ est strictement négative sur I , sauf peut-être
en un nombre fini de réels où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I .
Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f : x → x3 + 9
f est une fonction polynôme , elle est donc dérivable sur IR et pour tout réel x , f’ ( x ) = 3 x ²
-f’(0)=0
- Pour tout réel x ≠ 0 , f ’ ( x ) > 0 .
Ainsi f est strictement croissante sur IR .
b. EXTREMUM LOCAL
Soit f une fonction dérivable sur I et x0 ∈ I. Dire que f(x0) est un maximum local (resp minimum local) de f
signifie que l’on peut trouver un intervalle ouvert J ⊂ I tel que x0 ∈ J et que pour tout x ∈ J f(x) ≤ f(x0) ( resp
f(x) ≥ f(x0)) . Dire que f(x0) est un extremum local signifie que f(x0) est un maximum local ou un minimum
local.
Théorème1 (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x0 ∈ I. Si f(x0) est un extremum local alors f’(x0) = 0
Remarque : La réciproque est fausse !!!
Contre-exemple : f(x) = x3 f’(x) = 3x² f’(0) = 0 mais f(0) n’est pas un extremum local !
Théorème2 (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x0 ∈ I. Si f’ s’annule en changeant de signe alors
f(x0) est un extremum local.
6. Fonctions trigonométriques
Fonctions sinus et cosinus
Elles sont définies sur IR.
∀ x ∈ IR, sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx , donc elles sont périodiques de période 2π. On peut réduire
→
l’intervalle d’étude à [-π ;π[ et compléter par translation de vecteur 2π i .
∀ x ∈ IR, sin(-x) = sinx donc la fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport
àO
∀ x ∈ IR, cos(-x) = cosx donc la fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport
à (Oy).
∀ x ∈ IR, (sinx)’ = cosx , donc la dérivée est positive sur [0 ;π] et négative sur [π ;π], donc la fonction est
2
2
croissante sur [0 ;π] et décroissante sur [π ;π].
2
2
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Limites classiques
sinx
=1
x→0 x
lim
f(x) = sinx
f(0) = 0
f’(x) = cos x
f’(0) = 1
f(x) – f(0)
= f’(0) = 1
x-0
x→0
lim
On peut en déduire que la droite d’équation y = x est une approximation affine de la fonction sinus au voisinage
de 0.
cosx-1
=0
x→0 x
lim
f(x) =cosx
f(0) = 1
f’(x) = - sinx
f’(0) = 0
Fonction tangente
La fonction tangente est définie pour cosx ≠ 0 donc sur IR – {π + k π, k ∈ ZZ}
2
sin(x+ π) - sinx
tan(x+ π) =
=
= tanx . D’où la fonction tangente est périodique de période π.
cos(x+ π) - cosx
sin(-x)
sinx
tan(-x) =
== - tanx. D’où la fonction tangente est impaire.
cos(-x)
cosx
On étudie donc sur [0 ;π[ puis on complète sur ]-π ;π[ par symétrie par rapport à O puis sur Df par translation de
2 2
2
→
vecteur π i .
(tanx)’ = 1 + tan²x > 0. donc la fonction tangente est strictement croissante sur Df .
1 
1
lim tanx = lim 
= +∞ forme « + ». La droite d’équation x = π est asymptote à Cf.

0
2
x→π
x → π cosx
2
2
tanx
=1
f(x) = tanx f(0) = 0 f’(x) = 1 + tan²x f’(0) = 1
x→0 x
La droite d’équation y = x est une approximation affine de la fonction tangente en 0.
lim
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Représentation graphique
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