vn 1

Correction du DM n°3
Partie A:
On considère deux suites adjacentes (u n ) et (v n ) et on pose, pour tout n ∈ N,
w n = un − v n
1.
¡
¢ ¡
¢
w n+1 − w n = u n+1 − v n+1 − u n − v n
= u n+1 − v n+1 − u n + v n
= u n+1 − u n + v n − v n+1
¡
¢ ¡
¢
= u n+1 − u n + v n − v n+1
Or (u n ) est décroissante, donc u n+1 − u n est négatif
et (v n ¡) est croissante,
¢ ¡ donc v n¢− v n+1 est négatif
donc u n+1 − u n + v n − v n+1 est négatif.
Il s’ensuit que w n+1 − w n est négatif et donc que la suite (w n ) est décroissante.
2. On a par hypothèse que
lim (u n − v n ) = lim w n = 0
n→+∞
n→+∞
Par définition, cela signifie que tout intervalle ouvert centré en 0 contiendra une infinité de
termes de la suite (w n ).
Supposons alors qu’il existe un terme de la suite (w n ) qui soit strictement négatif, par exemple
que w n0 < 0.
La suite (w n ) étant décroissante, pour tout n tel que n > n 0 on aura
w n É w n0
w n É w n0 É 0
et donc
Donc, pour tout n tel que n > n 0 , on aura
¤
£
w n ∉ w n0 , −w n0
Ce qui est en contradiction avec le fait que la suite (w n ) converge vers 0. En conclusion, tous
les termes de la suite (w n ) sont positifs ou nuls.
3. Pour tout n on a
w n = un − v n Ê 0 ⇔ un Ê v n
(1)
De plus la suite (u n ) est décroissante, donc pour tout n on a u n É u 0 ou encore
u0 Ê un
(2)
En rapprochant les inégalités (1) et (2), il vient que pour tout n on a
u0 Ê v n ⇔ v n É u0
La suite (v n ) est donc croissante (par hypothèse) et majorée, elle est donc convergent en vertu
du théorème de convergence monotone.
Un raisonnement analogue montre que la suite (u n ) est décroissante et minorée (par v 0 ) elle
est donc aussi convergente. Notons `0 et ` leur limite respective, d’où
lim u n − v n = lim u n − lim v n = ` − `0
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Or lim u n − v n = lim w n = 0 et donc
n→+∞
n→+∞
` − `0 = 0
soit
` = `0
En conclusion (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite finie notée `.
Il faut prouver au préalable que les deux suites (u n ) et (v n ) sont convergentes.
Sinon en prenant u n = v n = n on aurait deux suites dont la différence converge vers 0, mais qui
divergent toutes les deux vers +∞
1
Partie B:
1. a )
Ã
!
n+1
n 1
X 1
X
− 1+
u n+1 − u n = 1 +
p=1 p!
p=1 p!
= 1+
n 1
n+1
X
X 1
−1−
p=1 p!
p=1 p!
=
n+1
n 1
X 1
X
−
p=1 p! p=1 p!
=
1
(n + 1)!
Donc u n+1 − u n est strictement positif et la suite (u n ) est strictement croissante.
b)
µ
¶
1
1
− un +
v n+1 − v n = u n+1 +
(n + 1) × (n + 1)!
n × n!
1
1
= u n+1 +
− un −
(n + 1) × (n + 1)!
n × n!
1
1
= u n+1 − u n +
−
(n + 1) × (n + 1)! n × n!
1
1
1
+
−
=
(n + 1)! (n + 1) × (n + 1)! n × n!
Il suffit de remarquer que (n +1)! = (n +1)×n! pour obtenir le dénominateur commun de l’expression ci-dessus, qui est
n × (n + 1) × (n + 1)!
D’où
v n+1 − v n =
1
1
1
+
−
(n + 1)! (n + 1) × (n + 1)! n × n!
=
n
(n + 1)2
n(n + 1)
+
−
n × (n + 1) × (n + 1)! n × (n + 1) × (n + 1)! n × (n + 1) × (n + 1) × n!
=
n
n 2 + 2n + 1
n2 + n
+
−
n × (n + 1) × (n + 1)! n × (n + 1) × (n + 1)! n × (n + 1) × (n + 1)!
=
n 2 + n + n − n 2 − 2n − 1
n × (n + 1)2 × n!
=−
1
n × (n + 1) × (n + 1)!
Pour tout n nous avons montré que v n+1 − v n est strictement négatif et donc que la suite (v n ) est
strictement décroissante.
2. Il reste à prouver que la limite de la suite (w n ) de terme général w n = u n − v n converge vers 0.
µ
¶
1
un − v n = un − un +
n × n!
1
= un − un −
n × n!
1
=−
n × n!
2
Or n! Ê n > 0 et donc
1
1
É
n! n
1
1
É
0<
n × n! n × n
1
1
É 2
0<
n × n! n
1
1
− 2 <−
É0
n
n × n!
0<
1
converge vers 0, d’après le théorème des gendarmes, il
n2
1
en sera de même de la suite de terme général −
, ce qui entraine que
n × n!
Comme la suite de terme général −
lim u n − v n = 0
n→+∞
Les suites (u n ) et (v n ) sont donc adjacentes.
3. a ) On a vu que
un − v n = −
1
n × n!
| un − v n | =
1
n × n!
soit
Supposons que
1
<e
n × n!
alors on aura
| un − v n | < e
Or comme (u n ) est croissante on aura, pour tout n, u n É `, de même comme comme (v n ) est
décroissante on aura, pour tout n, ` É v n .
En conclusion, ` est compris entre u n et v n .
La distance de ` à v n et u n sera donc plus petite que la distance entre u n et v n donc que e, u n
et v n seront donc deux approximations de ` à e-près.
On remarque que u n sera une approximation par défaut et v n une approximation par excès.
b ) Cet algorithme calcule les termes des suites (u n ) et (v n ) de sorte à obtenir une approximation à e-près de la limite ` commune à ces deux suites.
c)
3
d ) On obtient ` ' 2,718 281 8
4. Supposons qu’il existe p ∈ N et q ∈ N \ 0 tels que
`=
p
q
alors comme
uq < ` < v q
il vient que
p
< vq
q
p
q! × u q < q! × < q! × v q
q
p
q! × u q < q × (q − 1)! × < q! × v q
q
uq <
q! × u q < (q − 1)! × p < q! × v q
Exprimons v q en fonction de u q , il vient :
µ
1
q! × u q < (q − 1)! × p < q! × u q +
q × q!
q!
q! × u q < (q − 1)! × p < q!u q +
q × q!
1
q! × u q < (q − 1)! × p < q!u q +
q
¶
Soit en multipliant membre à membre par q :
q × q!u q < q × (q − 1)! × p < q × q!u q + 1
q × q!u q < q! × p < q × q!u q + 1
Or
Ã
q
X
1
q!u q = q! × 1 +
k=1 k!
= q! +
!
q
X
q!
k=1 k!
Or q Ê k donc
q! = q(q − 1) × · · · × (k + 1) × k!
D’où
q!u q = q! +
= q! +
= q! +
q
X
q!
k=1 k!
q
X
q(q − 1) × · · · × (k + 1) × k!
k!
k=1
q
X
q(q − 1) × · · · × (k + 1)
k=1
Ce qui entraine que le nombre q!u q est un nombre entier de même que q × q!u q et q × q!u q +1.
Ces deux nombres sont donc deux entiers consécutifs qui encadrent le nombre entier q!× p, ce
qui est impossible.
p
5. On en conclut que l’hypothèse ` = est fausse, ce qui signifie que ` ne peut pas s’écrire sous la
q
forme d’une fraction, et donc que ` est un nombre irrationnel.
4