encadrement affiche

TS
Exercices sur les suites
Exercice 1 :
Déterminer la limite de chaque suite (un)n ≥1.
a) un =
1
π
sin
n
n
(-1)n
b) un =
n
 1 n
c) un =  
n+1
d) 0,5n + cos(nπ)
Exercice 2 : la constante d’Apéry
Pour tout entier n ≥ 1, un =
1
1
1
3 + + 3 + …. + 3
1
2
n
1) Donner un minorant de cette suite.
2) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
1
3) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, un ≤ 2 – .
n
4) a)
Justifier que la suite (un) converge.
b)
Que peut-on dire de sa limite ?
Exercice 3
(un) est la suite définie sur V* par
n
n
n
n
un =
+
+ …. +
=
n² + 1 n² + 2
n² + n
∑
n
n² + k
k=1
a) Calculer u1, u2 et u3.
b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le
plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ?
c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
n²
n²
≤ un ≤
n² + n
n² + 1
1
TS
Exercices sur les suites
Exercice 4 : Suites mêlées
3
Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - a et pour tout
4
pour tout n de
1
1
un+1 = (un + 4vn) et vn+1 = (3un + 2vn)
5
5
1) A l’aide d’un tableur ou d’un autre logiciel, conjecturer le comportement
des deux suites à l’infini.
Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?
2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.
Démontrer cette conjecture.
3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement.
4) En déduire les limites de (un) et (vn).
Exercice 5 : Approximation de e
On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 +
1 1 1
1
1
+ + + ….. + et vn = un +
1! 2! 3!
n!
n×n!
1) Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.
2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite.
b) Comparer un et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la
suite (un) minorée par (u1).
c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu’elles ont la même
limite l.

x x²
xn -x
+ … + e et g(x) = f(x) +
3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 1 + +
1! 2!
n! 

x
pour 0 ≤ x ≤ 1.
n!
a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = un×e-1.
b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n
≥ 1, e –
e
≤ un ≤ e.
n!
c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, un ≤
e ≤ vn.
d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de e
à une précision 10-k (k ∈ V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour
laquelle il est obtenu. Qu’obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?
2
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
Exercice 1 :
Déterminer la limite de chaque suite (un)n ≥1.
a) un =
1
π
sin
n
n
(-1)n
b) un =
n
 1 n
c) un =  
n+1
d) 0,5n + cos(nπ)
a) On a pour n > 0, -1 ≤ sin
Donc -
π
≤1
n
1
1
≤ un ≤
n
n
 1
1
Or lim –  = lim = 0
n
 n
Donc selon le théorème des gendarmes lim un = 0
Exercice 2 : la constante d’Apéry
Pour tout entier n ≥ 1, un =
1
1
1
3 + + 3 + …. + 3
1
2
n
1) Donner un minorant de cette suite.
2) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
1
3) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, un ≤ 2 – .
n
4) a)
b)
Justifier que la suite (un) converge.
Que peut-on dire de sa limite ?
1)
0 est un minorant évident de un.
2)
un+1 – un =
1
>0
(n + 1)3
Donc (un) est croissante.
3)
1
Montrons par récurrence que un ≤ 2 – .
n
1
Soit Pn la proposition un ≤ 2 – .
n
u1 = 1 ≤ 2 –
1
1
Donc P1 est vraie.
3
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
Supposons Pn vraie pour entier n fixé.
un+1 = un +
1
(n+1)3
L’hypothèse de récurrence au rang n donne :
un ≤ 2 –
1
n
On a donc un+1 ≤ 2 –
Or Comme -
1
1
+
n (n + 1)3
1
1
1
1
≤ 0 alors 2 – +
3 ≤ 2 n (n + 1)
(n + 1)3
n
Donc un+1 ≤ 2 -
1
.
(n + 1)3
Donc la proposition Pn+1 est vraie.
Donc selon le principe de récurrence, la proposition Pn est héréditaire
1
On a donc bien pour n ≥ 1, un ≤ 2 – .
n
un ≤ 2 –
1
≤2
n
La suite (un) est croissante et majorée par 2.
Donc la suite (un) est convergente.
Pour n ≥ 1, on a 0 ≤ un ≤ 2 –
1
n
Comme (un) est convergente, en faisant tendre n vers l’infini, on a :
0 ≤ lim un ≤ 2.
Remarque : la limite de la suite (un) se nomme la constante d’Apéry du nom
d’un mathématicien qui a montré que cette limite est un nombre
irrationnel.
lim (un) ≈ 1,20205690.
4
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
Exercice 3
(un) est la suite définie sur V* par
n
un =
n
n
n
+
+ …. +
=
n² + 1 n² + 2
n² + n
∑
n
n² + k
k=1
a) Calculer u1, u2 et u3.
b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le
plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ?
c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
n²
n²
≤ un ≤
n² + n
n² + 1
d) Déterminer alors la limite de la suite (un).
a) u1 =
1
1
=
1² + 1 2
u2 =
2
2
2 2 2 1 2×3 + 1×5 11
+
= + = + =
=
2² + 1 2² + 2 5 6 5 3
15
15
u3 =
3
3
3
3 3 3 181
+
+
=
+
+
=
3² + 1 3² + 2 3² + 3 10 11 12 220
b) un est définie par une somme de n termes.
Le plus petit de ces termes est
n
.
n² + n
Le plus grand de ces termes est
n
.
n² + 1
c) Pour 1 ≤ k ≤ n, on a n²+ 1 ≤ n²+ k ≤ n² + n
Et par suite,
1
1
1
≤
≤
(car la fonction inverse est
n² + n n² + k n² + 1
décroissante sur ]0 ; + ∞[).
En multipliant membre à membre par l’entier naturel n > 0, on obtient :
n
n
n
≤
≤
n² + n n² + k n² + 1
Et en sommant pour k = 1 à n, on obtient :
n
n²
≤
n² + n
∑
n
n²
≤
n² + k n² + 1
k=1
Soit finalement l’encadrement demandé :
n²
n²
≤ un ≤
n² + 1
n² + n
5
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
d)
n²
=
n² + n
1
1+
1
n
et
n²
=
n² + 1
1
1+
1
n²
n²
n²
= 1 et lim
=1
n→+ ∞ n² + n
n→+ ∞ n² + 1
e) Donc lim
Donc d’après le théorème des gendarmes, on obtient lim un = 1.
n→+ ∞
Exercice 4 : Suites mêlées
3
Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - a et pour tout
4
pour tout n de
1
1
un+1 = (un + 4vn) et vn+1 = (3un + 2vn)
5
5
1) A l’aide d’un tableur ou d’un autre logiciel, conjecturer le comportement
des deux suites à l’infini.
Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?
2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.
Démontrer cette conjecture.
3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement.
4) En déduire les limites de (un) et (vn).
1)
a
-6
n
u(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v(n)
-6
4,5
2,4
-1,8
-0,96
0,72
0,384
-0,288
-0,1536
0,1152
0,06144
-0,04608
-0,024576 0,018432
0,0098304 -0,0073728
0,00393216 0,00294912
0,00157286 0,00117965
0,00062915 0,00047186
a
1
n
u(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v(n)
1
-0,75
-0,4
0,3
0,16
-0,12
-0,064
0,048
0,0256
-0,0192
-0,01024
0,00768
0,004096 -0,003072
-0,0016384 0,0012288
0,00065536 0,00049152
0,00026214 0,00019661
-7,8643E0,00010486
05
6
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
Il semble que lim un = lim vn = 0 quelle que soit la valeur de a.
7
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
2)
n
u(n)
v(n)
0
1
2
3
1
-0,4
0,16
-0,064
-0,75
0,3
-0,12
0,048
4
0,0256
-0,0192
5
-0,01024
0,00768
6
0,004096
-0,003072
7
8
9
10
-0,0016384 0,0012288
0,00065536 0,00049152
0,00026214 0,00019661
-7,8643E0,00010486
05
w(n)
0
0
0
0
-1,9429E16
-1,9776E16
-1,9602E16
-1,9602E16
-1,9602E16
-1,9613E16
-1,9613E16
Il semble que wn = 0.
Soit Pn la proposition wn = 0 pour tout n entier.
3
w0 = 3×u0 + 4×v0 = 3a - 4× a = 0 ; donc P0 est vraie.
4
Supposons Pn vraie pour un entier n fixé.
3
4
3 + 12
12 + 8
wn+1 = 3×un+1 + 4×vn+1 = (un + 4vn) + (3un + 2vn) =
un +
vn
5
5
5
5
wn+1 = 3un + 4vn = wn = 0 par hypothèse de récurrence.
D’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout entier n.
3
3) wn = 0 donc 3un + 4vn = 0 soit vn = - un
4
1
1
2
un+1 = (un + 4vn) = (un – 3un) = - un
5
5
5
2
Donc (un) est une suite géométrique de raison - .
5
Comme -1 < -
2
< 1 alors lim un = 0 et lim vn = 0
5
Exercice 5 : Approximation de e
On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 +
1 1 1
1
1
+ + + ….. + et vn = un +
1! 2! 3!
n!
n×n!
1) Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.
8
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite.
b) Comparer un et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la
suite (un) minorée par (u1).
c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu’elles ont la même
limite l.

x x²
xn -x
+ … + e et g(x) = f(x) +
3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 1 + +
1! 2!
n! 

x
pour 0 ≤ x ≤ 1.
n!
a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = un×e-1.
b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n
e
≤ un ≤ e.
n!
≥ 1, e –
c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, un ≤
e ≤ vn.
d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de e
à une précision 10-k (k ∈ V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour
laquelle il est obtenu. Qu’obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?
1)
u1 = 1 +
1
1
= 1 + 1 = 2 et v1 = u1 +
=2+1=3
1!
1×1!
u2 = 1 +
1 1
1 5
1
5 1 11
+ = 1 + 1 + = et v2 = u2 +
= + =
1! 2!
2 2
2×2! 2 4 4
2) a) un+1 – un =
1
> 0 : donc la suite (un) est strictement croissante.
(n+1)!
b) vn+1 – vn = un+1 +
vn+1 – vn =
1
1
1
1
1
- un –
=
+
(n+1)(n+1)!
n×n! (n+1)! (n+1)(n+1)! n×n!
1
1  1 n(n+1) + n – (n + 1)² 1 n² + n + n – n² - 2n – 1
1  1
+
- = ×
×
= ×
n! n+1 (n+1)² n n!
n(n+1)²
n!
n(n+1)²
vn+1 – vn = -
1
1
×
< 0 : la suite (vn) est strictement décroissante.
n! n(n+1)²
c) vn – un =
1
>0
n×n!
Donc vn > un
un < v1 : donc la suite (un) est majorée par v1.
9
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
vn > u1 : donc la suite (vn) est minorée par u1.
c) La suite (un) étant croissante et majorée converge donc vers une limite l.
La suite (vn) étant décroissante et minorée converge donc vers une limite l’.
Par passage à la limite dans la relation un = vn +
1
, on obtient directement l = l’.
n×n!
Les suites (un) et (vn) convergent donc vers la même limite l.
3) a)
b)

1 1 1
1
f(0) = 1×e-0 = 1 et f(1) = 1 + + + + ….. + ×e-1 = un×e-1
1! 2! 3!
n!


xn-1  -x 
xn -x
×e - 1 + x + …. + e
f’(x) = 1 + x + …. +
(n -1)!
n! 


f’(x) = -
xn -x
×e < 0
n!
Donc f est décroissante sur [0 ;1].
g’(x) = f’(x) +
1 1
= ×(1 - xn×e-x) du signe de 1 - xn×e-x
n! n!
Pour 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ xn ≤ 1 et e0 ≤ ex ≤ e1 (la fonction exponentielle
étant croissante sur [0 ;1])
D’où : e-1 ≤ e-x ≤ e-0 (la fonction inverse étant décroissante sur [1 ;e]).
Donc 0 ≤ xn×e-x ≤ 1
Par suite -1 ≤ - xn×e-x ≤ 0 et 0 ≤ 1 - xn×e-x ≤ 1
Donc g’(x) ≥ 0 sur [0,1] ; soit g croissante sur [0 ;1].
Comme 0 ≤ 1 et f est décroissante sur [0 ;1], donc f(0) ≥ f(1).
Soit 1 ≥
un
ou encore un ≤ e
e
Comme 0 ≤ 1 et g est croissante sur [0 ;1], donc g(0) ≤ g(1).
Soit 1 ≤
un 1
+
e n!
Ou encore un ≥ e –
e
n!
On a bien l’encadrement, pour n ≥ 1, e –
e
≤ un ≤ e.
n!

e
c) Comme lim e –  = e, d’après le théorème des gendarmes l = lim un = e.
n!

v n – e = un +

1
e
1
1 1
-e≥e– +
- e ≥ × - e
n×n!
n! n×n!
n! n

10
TS
Exercices sur les suites
CORRECTION
Pour n > 1,
1
1
< 1 et - e ≤ 0
n
n
Donc vn – e ≥ 0
D’où l’encadrement : un ≤ e ≤ vn.
d)
Pour k = 6, on obtient :
Pour k = 12, on obtient :
11