Chapitre 2

Chapitre 2
Suites, Limites et
Continuité
Dans ce chapitre, nous introduisons un concept central d’analyse, le processus
de limite. Ce concept est √
motivé par le fait suivant : on ne peut
√ pas calculer
exactement le nombre réel 2 en un nombre fini d’étapes. Mais 2 peut être approché avec n’importe quelle précision. Approcher un nombre avec une précision
arbitraire signifie le représenter comme limite d’une suite. Le concept du processus de limite est basé sur la structure topologique de l’ensemble des nombres
réels donnée par les intervalles ouverts (et la distance de deux nombres réels
définie à l’aide de la valeur absolue). Les axiomes algébriques et d’ordre permettent de traiter ce concept par le calcul puisqu’en cas d’existence des limites,
le processus de limite préserve ces structures, c’est-à-dire qu’il commute avec
les opérations algébriques et la relation d’ordre. De plus, nous introduisons une
classe de fonctions réelles qui commutent également avec le processus de limite :
les fonctions dites continues.
Notions à apprendre. Suite, sous-suite, suite bornée, suite convergente, limite d’une suite, suite de Cauchy, critère de convergence, limite supérieure
et limite inférieure d’une suite, point d’accumulation, suite divergente, suite
fortement divergente, suite géométrique, le nombre d’Euler, fonction continue,
prolongement par continuité, limite d’une fonction, le théorème de BolzanoWeierstrass et ses applications aux suites et aux fonctions continues, le théorème
de la valeur intermédiaire, suite récurrente, le théorème du point fixe de Banach
Compétences à acquérir. Connaı̂tre et savoir appliquer les règles de calcul
pour les limites, connaı̂tre et savoir appliquer les critères de convergence et
démontrer la convergence ou la divergence d’une suite donnée ou d’une suite
récurrente à l’aide de ces critères, savoir vérifier la continuité d’une fonction,
savoir déterminer le prolongement par continuité et de calculer la limite d’une
fonction, savoir appliquer le théorème de la valeur intermédiaire et le théorème
du point fixe de Banach.
38
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
2.1
2.1.1
39
Suites et sous-suites
Suites
Définition - suite numérique. Une suite numérique est une application f
de N dans R, notée f : N → R, c’est-à-dire une correspondance qui à chaque
n ∈ N associe un nombre réel f (n). On pose xn = f (n) et on désigne la suite
par (xn )n∈N ou (x0 , x1 , x2 , . . .).
Plus généralement, soit n0 un entier, alors (xn )n≥n0 définit également une
suite numérique.
Exemples de suites.
1. Suites données par une expression explicite :
(a) Soit xn = x pour tout n ∈ N. La suite (xn )n∈N est une suite constante
(x, x, x, x, . . .).
(b) Soit xn =
1
n
pour tout n ∈ N \ {0}, donc (xn )n∈N∗ = (1, 21 , 13 , 14 , . . .).
(c) Soit xn = (−1)n pour tout n ∈ N, donc (xn )n∈N = (1, −1, 1, −1, . . .).
(d) Soit a, q ∈ R \ {0}. Si on définit xn = aq n pour tout n ∈ N,
alors la suite (xn )n∈N est appelée une suite géométrique : (xn )n∈N =
(a, aq, aq 2 , aq 3 , . . .).
(e) Soit xn =
(n+2)(n+3)
n2 +n+1
30
pour tout n ∈ N, donc (xn )n∈N = (6, 4, 20
7 , 13 , . . .).
2. Suites récurrentes. Les éléments de la suite sont donnés par une relation
de récurrence et des valeurs initiales.
(a) Récurrences du premier ordre : xn+1 = f (xn ) où f est une fonction
réelle et x0 ∈ R est une condition initiale donnée. Par exemple, soit
x0 = 2 et xn+1 = 21 (xn + x2n ) pour tout n ∈ N \ {0}, donc (xn )n∈N =
577
(2, 23 , 17
, . . .). Nous allons démontrer plus loin que cette suite
12 , 408
√
tend vers 2. Une suite géométrique peut être définie de façon unique
par la récurrence xn+1 = qxn et la condition initiale x0 = a.
(b) Récurrences du second ordre : xn+1 dépend de xn et de xn−1 ce
qu’on peut exprimer par la relation xn+1 = f (xn , xn−1 ) où f est une
fonction à valeur réelle et x0 , x1 ∈ R sont des conditions initiales
données. Par exemple, la relation xn+1 = xn + xn−1 , x0 = 0, x1 = 1
donne les nombres de Fibonacci.
3. Série numérique. Soit
∑n(xk )n∈N une suite numérique. On définit la suite
des sommes Sn =
k=1 xk pour tout n ≥ 0. Par exemple, si xk =
1
pour
tous
k
∈ N \ {0}, alors (Sn )n≥0 = ( 21 , 32 , 34 , 45 , . . .). Les
(k+1)(k+2)
séries numériques seront étudiées au chapitre 3.
2.1.2
Suites bornées
Ensemble des images d’une suite. Soit (xn )n∈N une suite. On appelle
ensemble des valeurs de (xn )n∈N ou l’ensemble des images de (xn )n∈N l’ensemble
des valeurs prises par (xn )n∈N , i.e. l’ensemble {x1 , x2 , . . .}. La notion d’une suite
bornée correspond à celle d’un ensemble borné si on considère son ensemble de
valeurs.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
40
Définition - suite bornée. Une suite (xn )n∈N est dite minorée s’il existe
a ∈ R tel que pour tout n ∈ N on a xn ≥ a. Une suite (xn )n∈N est dite majorée
s’il existe b ∈ R tel que pour tout n ∈ N on a xn ≤ b. Une suite (xn )n∈N est dite
bornée, si (xn )n∈N est à la fois minorée et majorée.
Exemple. La suite géométrique (xn )n∈N = (q n )n∈N est bornée si |q| ≤ 1. Si
q > 1 elle est seulement minorée, si q < −1 elle n’est ni majorée ni minorée.
Proposition. Une suite (xn ) est bornée si et seulement s’il existe une constante
c ≥ 0 tel que |xn | ≤ c pour tout n ∈ N.
2.1.3
Suites monotones
Définition - suites monotones.
1. Une suite (xn )n∈N est dite croissante si xn ≤ xn+1 pour tout n ∈ N.
2. Une suite (xn )n∈N est dite strictement croissante si xn < xn+1 pour tout
n ∈ N.
3. Une suite (xn )n∈N est dite décroissante si xn ≥ xn+1 pour tout n ∈ N.
4. Une suite (xn )n∈N est dite strictement décroissante si xn > xn+1 pour
tout n ∈ N. Une suite (xn )n∈N est dite monotone si elle est croissante ou
décroissante.
Exemple. La suite ( n1 )n∈N∗ est strictement décroissante. La suite géométrique
(xn )n∈N = (q n )n∈N est strictement croissante si q > 1, constante si q = 1 et
strictement décroissante si 0 < q < 1.
2.1.4
Sous-suites
Exemple. Soit xn = (−1)n pour tout n ∈ N. On peut extraire une suite en
considérant uniquement les indices pairs nk = 2k et k ∈ N. Ceci donne une suite
définie par yk = xnk = x2k . Une telle suite est appelée sous-suite de (xn )n∈N .
Dans notre cas, on obtient une sous-suite constante puisque xnk = 1 pour tout
indice nk . Plus généralement, on a la
Définition - sous-suite. Si (nk )k∈N est une suite strictement croissante d’entiers naturels, on dit que (xnk )k∈N est une sous-suite, ou encore suite extraite,
de la suite (xn )n∈N .
Exemple. Pour xn = (−1)n et nk de la forme nk = 2k + 1, on obtient la
sous-suite donnée par xnk = −1. Si nk = 3k, on a la sous-suite (xnk )k∈N =
(1, −1, 1, −1, . . .).
2.2
2.2.1
Suites convergentes et limites
Limite d’une suite
Introduction. Pour certaines suites, les éléments xn tendent vers un nombre
1
)n∈N =
réel bien défini lorsque l’indice croı̂t. Par exemple, la suite (xn )n∈N = ( n+1
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
41
(1, 12 , 13 , 14 , . . .) tend vers 0. On dit aussi que la suite (xn )n∈N converge vers 0.
Plus précisément on a la
Définition - suite convergente. Une suite (xn )n∈N converge vers x ∈ R, si
à tout ϵ > 0, on peut associer un entier naturel Nϵ tel que pour tout n ≥ Nϵ on
a |xn − x| < ϵ. On écrit alors
lim xn = x.
n→+∞
On dit aussi que la suite (xn )n∈N est convergente et admet pour limite x ∈ R.
Une suite non convergente est dite divergente.
Autres notations.
Si lim xn = x, on note aussi xn → x lorsque n → +∞.
n→+∞
Interprétation métrique de la convergence. La définition signifie que la
distance d(xn , x) = |xn −x| entre les éléments xn de la suite et le point x devient
arbitrairement petite pour tous les indices n suffisamment grands. Autrement
dit,
lim xn = x ⇔ lim d(xn , x) = 0.
(2.1)
n→+∞
n→+∞
La définition du processus de limite à l’aide d’une distance (dite métrique) nous
permettra de l’étendre aux suites à valeurs complexes, aux suites de vecteurs et
aux suites de fonctions.
Remarque - Unicité de la limite. Lorsque la limite existe, elle est unique,
autrement dit, toute suite possède au plus une limite. En effet, s’il existe y ∈ R
tel que |xn − y| < ϵ pour tout n ≥ Mϵ , on a pour tout n ≥ max(Nϵ , Mϵ )
|x − y| = |x − xn + xn − y|
≤ |x − xn | + |xn − y|
par l’inégalité triangulaire
< ϵ + ϵ = 2ϵ
Donc x = y.
Remarque - l’ensemble des images d’une suite convergente. La suite
(xn )n∈N converge vers x si pour tout intervalle ouvert de la forme ]x − ϵ, x + ϵ[
toutes les valeurs xn , à partir d’un indice N = Nϵ , se trouvent dans ]x − ϵ, x + ϵ[.
Par conséquent, seulement un nombre fini d’éléments xn sont à l’extérieur de
cet intervalle. Notant que tout ensemble fini est borné, cette remarque implique
la proposition suivante :
Proposition 2.2.1. Toute suite convergente est bornée. Toute sous-suite d’une
suite convergente converge vers la même limite.
Remarque - Pratique habituelle de la définition d’une suite convergente. Nous allons expliquer comment nous utilisons le nombre ϵ. Supposons
que nous ayons démontré que pour tout ϵ > 0 il existe un entier naturel Nϵ tel
que pour tout n ≥ Nϵ l’inégalité |xn − x| < Cϵ est valable, où C ne dépend ni
de ϵ ni de n. Nous affirmons que x est la limite de la suite (xn )n∈N . La seule
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
42
différence par rapport à la définition est la constante C devant ϵ. Pour se ramener à l’inégalité de la définition, nous posons ϵ′ = ϵ/C. Il existe alors un entier
naturel N ′ tel que pour tout n ≥ N ′ on a |xn − x| < Cϵ′ . Par conséquent, pour
tout n ≥ N ′
|xn − x| < Cϵ′ = ϵ.
Dans la litérature, les estimations sont présentées telles qu’on a ”< ϵ” à la fin en
faisant les réarrangements comme ci-dessus. Dans ce cours nous gardons souvent
les constantes devant ϵ.
Remarque - Formulation usuelle du processus de limite. Au lieu de
dire qu’il existe un entier naturel N tel qu’une certaine affirmation est vraie
pour tout n ≥ N , nous disons souvent simplement pour tout entier naturel n
suffisamment grand.
Exemples élémentaires.
1. La suite constante xn = x où x ∈ R et n ∈ N satisfait
lim xn = x
n→+∞
puisque pour tout ϵ > 0 et tout n ∈ N on a |xn − x| = 0 < ϵ.
2. Soit xn = n1 pour n ≥ 1. Pour tout ϵ > 0 on a | n1 | < ϵ si n > 1ϵ . On choisit
donc un entier naturel Nϵ tel que Nϵ > 1ϵ , par exemple Nϵ = [ 1ϵ ] + 1. Par
conséquent, pour tout ϵ > 0, on a | n1 | < ϵ pour tout n ≥ Nϵ , c’est-à-dire
lim
1
n→+∞ n
= 0.
3. La suite d’éléments xn = (−1)n , n ∈ N est divergente. Pour démontrer
cette affirmation, nous supposons que (xn ) converge vers un nombre réel
x. Donc pour ϵ = 1 il existe un nombre naturel N tel que |xn − x| < 1
pour tout n ≥ N . Alors pour tout n ≥ N , nous avons grâce à l’inégalité
triangulaire
2 = |xn − xn+1 | = |xn − x + x − xn+1 | ≤ |xn − x| + |xn+1 − x| < 1 + 1 = 2
c’est-à-dire 2 < 2. La suite ne peut donc converger vers aucun x.
4. Considérons la suite géométrique définie par xn = q n , n ∈ N et q ∈ R. Si
q = 1 la suite est constante et donc convergente (voir 1.). Si q = −1 la suite
est divergente (voir 3.). Soit |q| > 1, alors la suite n’est pas convergente
car |q|n n’est pas majoré, i.e. pour tout C > 0, il existe n ∈ N tel que
|q|n > C. Pour démontrer cette affirmation noter, que par l’inégalité de
Bernoulli on a pour tout entier naturel n :
|q|n = (1 + |q| − 1)n ≥ 1 + n(|q| − 1)
Soit C > 0 arbitraire. Par l’axiome d’Archimède il existe un nombre naturel n tel que n(|q| − 1) > C. Par conséquent pour cette valeur de n
|q|n ≥ 1 + n(|q| − 1) ≥ 1 + C > C.
Il reste le cas |q| < 1 :
Proposition 2.2.2. Soit |q| < 1. Alors la suite géométrique (q n )n∈N est
convergente et
lim q n = 0.
n→+∞
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
43
1
Démonstration. Notons que |q|
> 1. Donc pour tout ϵ > 0 il existe un
1 N
nombre naturel N tel que ( |q| ) > 1ϵ , c’est-à-dire |q|N < ϵ. Ceci implique
|q|n < ϵ pour tout n ≥ N .
2.2.2
Propriétés des valeurs limites
Nous présentons les règles de calcul pour des valeurs limites.
Théorème 2.1. - Règles de calcul pour des limites. Supposons que
lim xn = x
et
n→+∞
lim yn = y.
n→+∞
Alors pour tout α, β ∈ R, on a
lim (αxn + βyn ) = αx + βy.
(2.2)
lim xn yn = xy.
(2.3)
n→+∞
n→+∞
x
si y =
̸ 0.
y
lim |xn | = |x| (= | lim xn |).
lim
xn
n→+∞ yn
n→+∞
=
n→+∞
(2.4)
(2.5)
Démonstration. - Règle (2.2). Pour tout ϵ > 0 il existe N ∈ N tel que pour tout
n≥N
|xn − x| < ϵ
et
|yn − y| < ϵ
De plus, les suites sont bornées (car convergentes). Il existe C1 , C2 > 0 tels que
|xn | ≤ C1 et |yn | ≤ C2 . Alors pour tout entier naturel n ≥ N
|αxn + βyn − (αx + βy)| ≤ |α||xn − x| + |β||yn − y|
< |α|ϵ + |β|ϵ
= (|α| + |β|)ϵ.
D’après la remarque ci-dessus, cette inégalité implique que la suite (αxn + βyn )
converge vers αx + βy.
- Règle (2.3). Pour tout entier naturel n ≥ N on a
|xn yn − xy| = |(xn − x)yn + x(yn − y)|
< C2 ϵ + C1 ϵ
= (C1 + C2 )ϵ.
- Règle (2.3). Si y ̸= 0 il existe un entier naturel N0 tel que |yn − y| < |y|
2 pour
tout n ≥ N0 (choisir ϵ = |y|
>
0
dans
la
définition).
Cette
inégalité
implique
2
que |yn | > |y|
si
n
≥
N
.
En
particulier, yn ̸= 0 si n ≥ N0 justifiant également la
0
2
xn
pour tout n suffisamment grand. Alors
construction de la suite donnée par
yn
pour tout n ≥ max(N, N0 )
xn
x (xn − x)y + x(y − yn ) yn − y = yyn
|(xn − x)y + x(y − yn )|
=
|y||yn |
(|y| + |x|)ϵ
.
<2
|y|2
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
44
- Règle (2.5). Le fait que (|xn |) converge vers |x| est une conséquence de
l’inégalité triangulaire :
|xn | − |x| ≤ |xn − x|.
Exemple. Soit xn = (n+2)(n+3)
pour tout n ∈ N. Pour appliquer le théorème
n2 +n+1
on doit extraire le terme n2 du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire, on
écrit xn comme suit :
xn =
1
n→+∞ n
Notons que lim
n2 (1 + n2 )(1 + n3 )
(1 + n2 )(1 + n3 )
=
n2 (1 + n1 + n12 )
1 + n1 + n12
1
2
n→+∞ n
= 0 implique lim
1
lim 1
n→+∞ n n→+∞ n
= lim
= 0. Par conséquent
(1 + n2 )(1 + n3 )
n→+∞ 1 + 1 + 12
n
n
lim xn = lim
n→+∞
2
)( lim 1 + lim n3 )
n→+∞ n n→+∞
n→+∞
lim 1 + lim n1 + lim n12
n→+∞
n→+∞
n→+∞
( lim 1 + lim
=
=
n→+∞
(1 + 0)(1 + 0)
=1
1+0+0
Proposition 2.2.3. Soit (xn )n∈N une suite bornée et (yn )n∈N une suite qui
converge vers 0. Alors la suite (xn yn )n∈N converge vers 0.
Démonstration. Exercice.
Exemple.
(yn )n∈N =
Calculer
( n1 )n∈N
lim sin n .
n→+∞ n
La suite (xn )n∈N = (sin n)n∈N est bornée et
converge vers 0. Alors
lim
n→+∞
2.3
sin n
= 0.
n
Critères de convergence
Proposition 2.3.1. - Processus de limite et structure d’ordre. Soit (xn )n∈N
et (yn )n∈N deux suites satisfaisant les deux propriétés suivantes :
1. (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent respectivement vers x et y.
2. Il existe un entier naturel N0 tel que pour tout n ≥ N0 : xn ≤ yn
Alors x ≤ y.
Démonstration. Nous raisonnons par l’absurde et supposons que x > y. Prenons
ϵ = x−y
2 > 0. Pour cet ϵ il existe N ≥ N0 tel que pour tout n ≥ N :
|xn − x| < ϵ,
|yn − y| < ϵ
et xn ≤ yn
En particulier,
x − ϵ < xn ≤ yn < y + ϵ
C’est absurde car x − ϵ = y + ϵ =
x+y
2 .
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
45
Le théorème des deux gendarmes est une simple conséquence de cette Proposition.
Théorème 2.2. - Théorème des deux gendarmes 1 . Soit (xn )n∈N , (un )n∈N
et (vn )n∈N trois suites satisfaisant les deux propriétés suivantes :
1. (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers la même limite L
2. Il existe un entier naturel N0 tel que pour tout n ≥ N0 : un ≤ xn ≤ vn
Alors (xn )n∈N converge vers L.
Démonstration. Nous donnons une démonstration directe. Pour tout ϵ > 0 il
existe un entier naturel N1 tel que
|un − L| < ϵ
i.e.
− ϵ < un − L < ϵ
|vn − L| < ϵ
i.e.
− ϵ < vn − L < ϵ
et
Alors pour tout n ≥ N = max(N0 , N1 )
−ϵ < un − L < xn − L < vn − L < ϵ
et donc |xn − L| < ϵ.
Exemple.
Soit a > 0. Calculer lim
n→+∞
√
1 + na . Notons que
√
a
a
1≤ 1+ ≤1+
n
2n
Donc lim
√
n→+∞
Exemple.
1+
a
n
= 1.
Soit a > 0. Montrer que
lim
√
n
n→+∞
Notons xn =
√
n
a = 1.
a. Si a > 1 nous avons xn ≥ 1 et par l’inégalité de Bernoulli
a = (xn )n = (1 + xn − 1)n ≥ 1 + n(xn − 1)
i.e. xn ≤ 1 +
a−1
n
et le théorème des deux gendarmes donne le résultat souhaité. Si a =
√ 1 le résultat
1
est trivial et si a < 1 nous obtenons le résultat grâce à l’identité n a = √
.
n 1
a
Exemple.
Montrer que
lim
n→+∞
√
n
n = 1.
L’inégalité de Bernoulli ne donne plus une borne√qui converge vers 1. Donc
√
considérons la suite définie par yn = xn où xn = n n. Notons que yn ≥ 1. Par
l’inégalité de Bernoulli, nous trouvons pour tout n ≥ 1
√
√
n−1
n = (yn )n = (1 + yn − 1)n ≥ 1 + n(yn − 1) i.e. yn ≤ 1 +
n
1. on l’appelle aussi le théorème d’encadrement
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
et par le théorème des deux gendarmes, nous obtenons
√
lim
n→+∞
n−1
n
46
lim yn = 1 puisque
n→+∞
= 0. Par conséquent
lim
n→+∞
√
n
n = lim xn = lim yn2 = ( lim yn )2 = 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Théorème 2.3. - ”Critère du quotient”. Soit (xn )n∈N une suite pour laquelle la limite
xn+1 ρ = lim n→+∞ xn existe. Alors, si ρ < 1 la suite (xn )n∈N converge vers 0 tandis que si ρ > 1 elle
diverge.
Démonstration. L’hypothèse du théorème permet de comparer la suite (xn )n∈N
à une suite géométrique. Sans perte de la généralité nous supposons xn ̸= 0 pour
tous n. Si ρ < 1 on choisit ϵ > 0 tel que ρ + ϵ < 1. Il existe un entier naturel Nϵ
tel que pour tout n ≥ Nϵ :
xn+1
xn − ρ < ϵ
d’où par l’inégalité triangulaire |xn+1 | ≤ (ρ + ϵ)|xn |. Par récurrence (voir aussi
le chapitre 2.8) on conclut que |xn+1 | ≤ (ρ + ϵ)n−Nϵ |xNϵ | d’où l’affirmation du
théorème. On laisse le cas ρ > 1 comme exercice.
Remarque. Si ρ = 1 la suite (xn )n∈N peut être convergente (par exemple
xn = 1) ou divergente (par exemple xn = (−1)n ).
Exemple. La suite géométrique (xn )n∈N = (q n )n∈N , |q| ̸= 1 satisfait ce critère
car xn+1 = qxn .
Exemple.
Soit a ∈ R. Montrer que
an
= 0.
n→+∞ n!
lim
Avec xn =
an
n!
on a
xn+1 = lim |a| = 0 < 1.
lim n→+∞ xn n→+∞ n + 1
Théorème 2.4. - Critères de monotonie.
1. Toute suite croissante et majorée converge vers le supremum de son ensemble de valeurs.
2. Toute suite décroissante et minorée converge vers l’infimum de son ensemble de valeurs.
3. Soit (xn )n∈N une suite croissante et (yn )n∈N une suite décroissante telles
que
lim (xn − yn ) = 0.
n→+∞
Alors
(a) pour tout n ∈ N : x0 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn ≤ y0
(b) (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent vers la même limite.
Démonstration. Exercice.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
47
Exemple - le nombre d’Euler. 2 Considérons les suites (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗
définies par
(
)n
(
)n+1
1
1
xn = 1 +
,
yn = 1 +
.
n
n
Nous affirmons que (xn )n∈N est strictement croissante et que (yn )n∈N est strictement décroissante. En effet, en appliquant l’inégalité de Bernoulli nous avons
xn+1
(n + 2)n+1 nn
=
xn
(n + 1)2n+1
(n2 + 2n)n+1 n + 1
=
(n + 1)2(n+1) n
(
)n+1
1
n+1
= 1−
(n + 1)2
n
(
)
1
n+1
> 1 − (n + 1)
=1
(n + 1)2
n
et
yn
yn+1
(n + 1)2n+3
(n + 2)n+2 nn+1
(n2 + 2n + 1)n+2 n
=
(n2 + 2n)n+2 n + 1
(
)n+2
1
n
= 1+
n(n + 2)
n+1
)
(
n
1
=1
> 1 + (n + 2)
n(n + 2) n + 1
=
Ceci implique que (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ sont bornées et
x1 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn ≤ y1
De plus
(
)n
1
1
lim (xn − yn ) = lim −
1+
= 0.
n→+∞
n→+∞
n
n
Alors les suites (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ convergent vers la même limite et nous
posons
(
)n
1
e = lim 1 +
.
n→+∞
n
Les suites (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ ne sont pas très adaptées pour le calcul numérique
du nombre e car elles ne convergent que lentement. Nous allons encore montrer
que
∞
n
∑
∑
1
1
= lim
.
e=
k! n→+∞
k!
k=0
k=0
Ce développement en série converge beaucoup plus rapidement vers la limite
(voir chapitre 3.6).
2. D’après le mathématicien et physicien Leonhard Euler(1707 - 1783), ce nombre est
parfois aussi appelé la constante de Neper.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
48
Exemple - une suite récurrente pour la racine carrée. Soit a > 0.
Considérons la suite (xn )n∈N définie par
1
a
(xn +
)
2
xn
√
lim xn = a.
xn+1 =
Proposition 2.3.2.
et
x0 > 0
n→+∞
Démonstration. Première méthode : la suite (xn )n∈N satisfait les propriétés suivantes. Pour tout n ∈ N
1. xn > 0 car x0 > 0 et xn > 0 implique xn+1 > 0.
(
)2
2. x2n+1 ≥ a car x2n+1 − a = 41 xn − xan ≥ 0.
)
(
3. xn+1 ≤ xn car xn − xn+1 = 2x1n x2n − a ≥ 0.
Par conséquent, pour n ≥ 1, (xn ) est une suite décroissante et minorée par xa1
car xn ≥ xan ≥ xa1 grâce aux propriétés 2 et 3. Donc x = lim xn existe et
n→+∞
x > 0. Par la formule de récurrrence, nous avons
lim xn+1 =
n→+∞
1
a
( lim xn +
)
2 n→+∞
lim xn
n→+∞
c’est-à-dire
1
a
(x + )
2
x
ou x2 = a et, de plus, x > 0 par la propriété 1.
x=
Démonstration.
Deuxième méthode√: si la suite est convergente elle doit conver√
ger vers a. On définit yn = xn − a qui vérifie la récurrence
yn+1 =
1
yn
√ yn .
2 yn + a
√
y0 > − a implique y1 > 0 et donc par récurrence yn > 0 pour tout entier
n ≥ 1, d’où
1
yn+1 ≤ yn
2
pour tout entier n ≥ 1. Cette inégalité implique par récurrence que yn√≤ 21−n y1 .
Par le théorème des deux gendarmes, lim yn = 0, i.e. lim xn = a.
n→+∞
n→+∞
On présente d’autres suites récurrentes au chapitre 2.8 dans le contexte des
méthodes de résolutions exactes pour certaines suites récurrentes ainsi que des
méthodes pour étudier leur convergence.
Vitesse de convergence. Après chaque
√ étape de la récurrence, nous pouvons
estimer l’erreur de l’approximation de a grâce aux inégalités
√
a
≤ a ≤ xn .
xn
√
√
Nous considérons les erreurs définies par xn = a(1 + un ) et xan = a(1 − vn ).
un
Donc un ≥ 0 pour n ≥ 1 et vn = 1+u
≤ un . Les un satisfont la récurrence
n
un+1 =
1 u2n
2 1 + un
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
49
et nous pouvons estimer un par un+1 ≤ 12 min(un , u2n ). Par exemple, si pour un
n, l’erreur est plus petite qu’un pour cent, c’est-à-dire un ≤ 10−2 , alors un+1
≤
n
n
5 · 10−5 et un+2 ≤ 1.25 · 10−9 . En fait, si 0 < u0 ≤ 1, alors 0 < un ≤ 21−2 u20
(exercice).
2.4
Le théorème de Bolzano-Weierstrass
Introduction. Nous avons vu que toute suite convergente est bornée. Une
suite bornée n’est pas toujours convergente. Nous allons montrer que de toute
suite bornée nous pouvons extraire une sous-suite convergente.
Théorème 2.5. - théorème de Bolzano-Weierstrass 3 De toute suite
bornée (xn )n∈N , on peut extraire une sous-suite convergente (xnk )k∈N .
Interprétation du théorème de Bolzano-Weierstrass. Le théorème de
Bolzano-Weierstrass signifie que pour toute suite bornée il y a toujours (au
moins) un nombre réel x dont chacun des voisinages contient un nombre infini d’éléments de cette suite. Autrement dit, les éléments d’une suite bornée
(ou d’une infinité de nombres dans un intervalle borné) s’accumulent ou se
concentrent autour (au moins) d’un nombre réel.
Pour démontrer ce résultat, nous construisons une suite convergente à partir
de (xn )n∈N . Sa limite est appelée la limite supérieure de la suite (xn )n∈N .
Limite supérieure et limite inférieure.
définit la suite (yn )n∈N en posant
Soit (xn )n∈N une suite bornée. On
yn = sup{xk : k ≥ n}.
La suite (yn )n∈N est décroissante et minorée, donc convergente. Sa limite est
appelée la limite supérieure de la suite (xn )n∈N et on la note par lim sup xn :
n→+∞
lim sup xn := lim sup{xk : k ≥ n}.
n→+∞
n→+∞
(2.6)
La suite définie par
zn = inf{xk : k ≥ n}
est croisssante et majorée et nous notons sa limite, appelée limite inférieure de
la suite (xn )n∈N , par lim inf xn :
n→+∞
lim inf xn := lim inf{xk : k ≥ n}.
n→+∞
n→+∞
(2.7)
Par définition, on a toujours
lim inf xn ≤ lim sup xn .
n→+∞
n→+∞
3. D’après Bernhard Bolzano (1781-1848) et Karl Weierstrass (1815-1897). Ce théorème
représente un des théorèmes fondamentaux d’Analyse.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
50
Suite monotone et lim sup, lim inf . Soit (xn )n∈N une suite croissante.
Alors yn = y0 = sup{xk : k ≥ 0} pour tous n ∈ N et zn = xn pour tout n ∈ N. Si
(xn )n∈N est une suite décroissante, alors yn = xn et zn = z0 = inf{xk : k ≥ 0}.
Exemple. La suite xn = (−1)n (1 + n1 ) est bornée mais elle n’est pas convergente. Nous avons
{
si n pair,
1 + n1
yn = sup{xk : k ≥ n} =
1
1 + n+1 si n impair,
et donc lim sup xn = 1. Similairement on démontre lim inf xn = −1.
n→+∞
n→+∞
Démonstration. (du théorème de Bolzano-Weierstrass) Soit yn = sup{xk : k ≥
n} et y = lim yn . Pour tout ϵ > 0 et tout entier naturel N il existe n ≥ N tel
n→+∞
que
1
|yn − y| < ϵ.
2
Par construction de la suite yn , il existe un indice n1 ≥ n tel que |xn1 −yn | < 12 ϵ.
Donc n1 ≥ N et
1
1
|xn1 − y| = |xn1 − yn + yn − y| ≤ |xn1 − yn | + |yn − y| < ϵ + ϵ = ϵ.
2
2
Ceci implique que pour tout ϵ > 0 il existe un nombre infini de nk ∈ N et
nk ≥ N tel que |xnk − y| < ϵ (si nk est l’indice trouvé, choisir N = nk + 1 pour
trouver un nk+1 > nk etc.).
Proposition 2.4.1. lim inf , lim sup et suites convergentes. Soit (xn )n∈N
une suite et x un réel. Alors lim xn = x si et seulement si lim sup xn =
n→+∞
n→+∞
lim inf xn = x. Dans ce cas
n→+∞
lim xn = lim sup xn = lim inf xn .
n→+∞
n→+∞
(2.8)
n→+∞
Démonstration. Si lim sup xn = lim inf xn = x, alors pour les yn , zn construits
n→+∞
n→+∞
ci-dessus : zn ≤ xn ≤ yn et on conclut par le théorème de deux gendarmes. Soit
lim xn = x, alors la suite (xn )n∈N est bornée et lim sup xn = y et lim inf xn =
n→+∞
n→+∞
n→+∞
z existent. La convergence des xn implique que pour tout ϵ > 0 il existe un
nombre naturel N = Nϵ tel que xn ∈]x − ϵ, x + ϵ[ pour tout n ≥ Nϵ d’où
yn , zn ∈]x − ϵ, x + ϵ[ pour tout n ≥ Nϵ . Par conséquent, x = y = z.
Point d’accumulation d’une suite. On appelle p ∈ R un point d’accumulation d’une suite (xn )n∈N s’il existe une sous-suite (xnk )k∈N de (xn )n∈N telle
que lim xnk = p.
k→+∞
Proposition 2.4.2. - Adhérence d’un ensemble et point d’accumulation
d’une suite. Un point a est adhérent à un ensemble E ⊂ R si et seulement s’il
existe une suite d’éléments an ∈ E qui converge vers a.
Démonstration. Si an ∈ E converge vers a, alors pour tout r > 0 il existe
un entier naturel N tel que |an − a| < r pour tout n ≥ N , c’est-à dire an ∈
]a − r, a + r[ ∩ E. Si a est adhérent à E, alors pour tout entier naturel n il existe
un an ∈]a − n1 , a + n1 [ ∩ E. La suite (an )n∈N converge vers a.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
51
Remarque. Si a ∈ E, on peut choisir la suite constante : an = a. Si E est
majoré et sup E ∈
/ E, il existe une suite d’éléments an ∈ E qui converge vers
sup E. Si E est minoré et inf E ∈
/ E, il existe une suite d’éléments an ∈ E qui
converge vers inf E.
Exemple - l’adhérence de l’ensemble des valeurs d’une suite bornée.
Soit (xn )n∈N une suite bornée et considérons son ensemble de valeurs {xn :
n ∈ N}. Par la proposition précédente, la réunion de {xn : n ∈ N} avec l’ensemble des points d’accumulation de la suite (xn )n∈N donne l’adhérence de
{xn : n ∈ N}.
Exemple - l’adhérence des rationnels. Soit (xn )n∈N = (r1 , r2 , . . .) la suite
des rationnels dans ]0, 1[. Alors tout x ∈ [0, 1] est un point d’accumulation de
cette suite. Donc l’adhérence de son ensemble des valeurs est [0, 1].
Corollaire 2.6. - Suites dans un ensemble fermé. Soit E ⊂ R un ensemble
fermé et (xn ) un suite d’éléments xn ∈ E. Alors tout point d’accumulation de
(xn ) est dans E. En particulier, si lim xn = x, alors x ∈ E.
n→+∞
Démonstration. Soit x un point d’accumulation de (xn ). Par la proposition 2.4.2
x ∈ Ē et Ē = E puisque E est fermé.
2.5
Suites de Cauchy
Introduction. Soit (xn )n∈N une suite qui converge vers x. Nous avons observé
que les distances entre les éléments de la suite deviennent arbitrairement petites.
Plus précisément, si (xn )n∈N converge vers x, pour tout ϵ > 0 il existe N ∈ N
tel que |xn − x| < 21 ϵ pour tout n ≥ N . Donc, pour tout entier m, n ≥ N
|xn − xm | = |xn − x + x − xm | ≤ |xn − x| + |xm − x| <
1
1
ϵ + ϵ = ϵ.
2
2
C’est cette dernière propriété que nous prenons comme définition d’une famille
de suites appelées suites de Cauchy.
Suites de Cauchy. Une suite (xn )n∈N est dite suite de Cauchy 4 si à tout
ϵ > 0, on peut associer un N = Nϵ ∈ N tel que pour tout m, n ≥ N on a
|xn − xm | < ϵ.
Théorème 2.7. - Théorème fondamental des suites de Cauchy. Une
suite numérique (xn )n∈N est une suite de Cauchy si et seulement si elle converge.
Démonstration. Nous avons déjà vu que toute suite convergente est une suite de
Cauchy. Pour montrer que toute suite de Cauchy converge, notons que si (xn )n∈N
est une suite de Cauchy, alors (xn )n∈N est bornée car pour un ϵ donné, il existe
un entier naturel N tel que |xn − xN | < ϵ pour tout n ≥ N . Par le théorème
de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite de (xn )n∈N qui converge. Soit x
sa limite. Nous allons démontrer que toute la suite (xn )n∈N converge vers x. La
4. après Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
52
suite (xn )n∈N est de Cauchy, alors pour tout ϵ > 0, il existe N ∈ N tel que pour
tout m, n ≥ N
1
|xn − xm | < ϵ.
2
Il existe un élément de la sous-suite xm tel que m ≥ N et |xm − x| < 12 ϵ. Donc
pour tout n ≥ N
|xn − x| = |xn − xm + xm − x| ≤ |xn − xm | + |xm − x| <
1
1
ϵ + ϵ = ϵ.
2
2
Remarque. On peut montrer que ce théorème est équivalent à l’axiome que
tout ensemble majoré a un supremum. On peut donc caractériser la propriété
de R d’être complet par le fait que toute suite de Cauchy converge.
2.6
Fonctions continues
Fonction continue. Soit f : Df → R une fonction et x ∈ Df . On dit que
f est continue en x, si pour toute suite (xn )n∈N d’éléments dans Df telle que
lim xn = x on a
n→+∞
lim f (xn ) = f (x) = f
n→+∞
(
)
lim xn .
n→+∞
(2.9)
Nous notons cette propriété comme suit (voir aussi le chapitre 4) :
lim f (η) = f (x).
η→x
(2.10)
On dit que la limite de f (η) lorsque η tends vers x est égale à f (x). Même
si cette notation ne donne plus explicitement la référence au domaine Df de la
fonction f , la limite lim f (η) dépend de Df puisque on peut seulement considérer
η→x
des suites d’éléments dans Df (voir l’exemple 6 ci-dessous). Une fonction f est
continue sur Df si elle est continue en tout x ∈ Df . Il suit des règles de calcul
pour les limites du théorème 2.1 et de la définition de la continuité :
Opérations sur des fonctions continues.
1. La somme et le produit de fonctions continues sont continues.
2. La composition de fonctions continues est continue.
Plus précisement on a :
Théorème 2.8. - Opérations sur des fonctions continues.
1. Soit f, g : R −→ R continues en a. Alors les fonctions λ · f avec λ ∈ R,
f + g et f · g sont continues en a.
2. Soit f, g : R −→ R tels que f est continue en a et g est continue en
b = f (a). Alors la fonction g ◦ f est continue en a.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
2.6.1
53
Exemples de fonctions continues
1. Les fonctions polynômiales f (x) =
n
∑
ak xk , ak ∈ R sont continues en
k=1
tout x ∈ R puisque si lim xi = x, alors par les règles de calcul pour
i→+∞
les limites lim x2i = x2 et par récurrence lim xki = xk pour tout entier
i→+∞
i→+∞
positif k et la somme de suites convergentes est convergente.
2. Par le même argument, les fonctions rationnelles sont continues sur leur
domaine de définition.
3. f (x) = |x| est continue en tout x ∈ R : c’est le point 4. du théorème 2.1.
4. Les fonctions sin x, cos x sont continues en tout x ∈ R : noter d’abord que
sin x est continue en x = 0 puisque | sin x| ≤ |x| d’où pour toute suite
telle que lim xi = 0 il suit que lim sin xi = 0. Par le théorème de
i→+∞
i→+∞
Pythagore, cos x est continue en x = 0. La continuité en tout x ∈ R est
une conséquence des formules d’addition. Par exemple, si lim xi = x,
i→+∞
alors
lim sin xi = lim sin(xi − x + x)
i→+∞
i→+∞
= lim sin(xi − x) cos x + cos(xi − x) sin x
i→+∞
= 0 · cos x + 1 · sin x = sin x.
5. Pour illustrer le fait que la définition de la continuté s’applique aussi aux
fonctions qui ne sont pas définies sur un intervalle, considérons la fonction
f : Q −→ R définie par f (x) = ax où a est un réel strictement positif.
Cette fonction vérifie la définition d’une fonction continue sur son domaine
Df = Q si on pose f (0) = 1. En fait, soit (xk )k∈N une suite de rationnels
telle que lim xk = x ∈ Q. En utilisant axk − ax = ax (axk −x − 1) on note
k→+∞
qu’il suffit étudier le cas x = 0. Il faut donc montrer que lim xk = 0 avec
k→+∞
xk ∈ Q implique lim axk = 1 =: a0 . Si a = 1 l’affirmation est triviale. Si
k→+∞
a > 1 on note que f (x) est strictement croissante. Pour tout entier positif
1
1
n il existe un entier naturel M = Mn tel que − < xk <
pour tout
n
n
1
k ≥ Mn (on a choisi ϵ = n dans la définition de la limite). Par conséquent,
a− n < axk < a n .
1
Nous avons vu que
1
1
lim a n = 1 d’où l’affirmation par le théorème des
n→+∞
deux gendarmes. Par le même raisonnement, on démontre la continuité si
a < 1 pour toute suite de rationnels (xk )k∈N telle que lim xk = x.
k→+∞
6. Soit f : Q −→ R définie par f (x) = χQ (x). Alors f est constante sur
son domaine donc continue et nous avons lim f (η) = f (x)(= 1) en tout
η→x
x ∈ Q. Si on considère la fonction f comme fonction définie sur R, c’està-dire f : R −→ R définie par f (x) = χQ (x), alors lim f (η) n’existe plus
η→x
puisque par la densité des rationnels et des irrationnels dans R, pour tout
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
54
x ∈ R on peut prendre des suites de rationnels et des suites d’irrationnels
qui convergent vers x donnant des suites constantes 1 ou 0 pour les valeurs
de f .
7. Si x ∈ Df est un point isolé du domaine de f , alors f est toujours continue
en x puisque l’unique suite d’éléments dans Df qui converge vers x est la
suite constante. Par conséquent toute fonction f : Z −→ R est continue !
/ Df un
Prolongement par continuité. Soit f : Df → R une fonction et x ∈
point adhérent à Df . Si pour toute suite (xn )n∈N d’éléments dans Df telle que
lim xn = x il existe l ∈ R tel que
n→+∞
lim f (xn ) = l,
n→+∞
(2.11)
notée également lim f (η) = l, alors le prolongement de f , noté f˜ et défini par
η→x
{
f˜(η) :=
f (η), si η ∈ Df ;
l,
si η = a.
(2.12)
est continue en η = x. On appelle f˜ le prolongement par continuité de f en
η = x.
Exemples.
sin t
. Alors f admet un prolonget
˜
ment par continuité en t = 0 défini par f (0) = 1. C’est une conséquence
du théorème des deux gendarmes en appliquant les inégalités
1. Soit f : R \ {0} −→ R défini par f (t) =
cos t ≤
pour tous t ̸= 0, |t| ≤
π
2
sin t
≤1
t
et la continuité de cos t.
x2 − a2
. Alors g admet
x−a
un prolongement par continuité en x = a défini par g̃(0) = 2a. En fait,
notons d’abord que a est adhérent au domaine de g. Alors pour toute suite
d’éléments xn ∈ R \ {a} qui converge vers a, on a
2. Soit a ∈ R et g : R \ {a} −→ R défini par g(x) =
lim g(xn ) = lim
n→+∞
n→+∞
(xn − a)(xn + a)
= lim (xn + a) = 2a.
n→+∞
xn − a
La fonction g donne les pentes des sécantes de la fonction h(x) = x2 entre
les points (a, h(a)) et (x, h(x)), x ̸= a. L’existence d’un prolongement
par continuité signifie que le graphe de h(x) = x2 admet une tangente en
(a, h(a)) avec la pente donné par le prolongement par continuité en x = a :
g̃(a) = 2a. Nous allons voir au chapitre 5 que cette condition nous sert à
définir la dérivée d’une fonction.
3. Considérons encore la fonction f : Q −→ R définie par f (x) = ax où a
est un réel strictement positif. Nous pouvons donner un prolongement par
continutité défini en tout x ∈ R par la définition
ax := lim axk .
k→+∞
(2.13)
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
55
Par le même argument que présenté ci-dessus, on peut vérifier que ce
prolongement donne une fonction continue sur R puisque Q est dense
dans R. Par une méthode différente et plus élégante, nous allons démontrer
au chapitre 3 qu’il existe en fait un unique prolongement par continuité
donnée par l’équation (2.13).
Limite d’une fonction. La défintion suivante couvre les deux situations discutées ci-dessus. Soit f : Df → R une fonction et a ∈ R adhérent à Df . S’il
existe un l ∈ R tel que pour toute suite (xn )n∈N d’éléments dans Df telle que
lim xn = x on a lim f (xn ) = l, on dit que la limite de f (x) lorsque x tend
n→+∞
n→+∞
vers a est égale à l et on note
lim f (x) = l.
(2.14)
x→a
Il en suit pour les deux cas a ∈ Df et a ∈
/ Df :
1. si a ∈ Df , alors la limite lim f (x) existe si et seulement si f est continue
x→a
en a et dans ce cas l = f (a) (prende la suite constante avec xn = a)
2. si a ∈
/ Df , alors la limite lim f (x) existe si et seulement si f admet un
x→a
prolongement par continuité en a, noté f˜ : Df ∪ {a} → R et dans ce cas
l = f˜(a).
Nous allons discuter la notion de la limite d’une fonction plus profondément
au chapitre 4 dans lequel on étend également cette notion aux suites fortement
divergentes qui séront présentées au chapitre 2.7.
2.6.2
Applications du théorème de Bolzano-Weierstrass
aux fonctions continues sur [a, b]
Introduction. Les propriétés importantes des fonctions continues définies sur
un intervalle borné et fermé sont des conséquences du théorème de BolzanoWeierstrass. Ici nous montrons que toute fonction continue sur un intervalle
borné et fermé atteint ses valeurs extrémales. Pour une autre conséquence sur
la continuité uniforme des fonctions voir chapitre 4.
Maximum et minimum d’une fonction. Soit D, T ⊂ R et f : D → T .
Alors sup{f (x) : x ∈ D} et inf{f (x) : x ∈ D} sont appelés le supremum
respectivement l’infimum de f et on les note sup f (x) respectivement inf f (x).
x∈D
x∈D
On dit que f atteint son maximum (respectivement son minimum) en a ∈ D
si f (a) = sup f (x) (resp. inf f (x)) et on le note f (a) = maxf (x) (resp. f (a) =
x∈D
x∈D
x∈D
minf (x)).
x∈D
Théorème 2.9. Soit f une fonction continue définie sur l’intervalle borné et
fermé [a, b]. Alors f atteint son maximum et son minimum.
Démonstration. Il suffit de montrer que la fonction f atteint son maximum car
minf (x) = −max(−f (x)) et −f est continue. Soit S := sup f (x). (Noter que
x∈D
x∈D
x∈[a,b]
S = ∞ si f n’est pas bornée). Il existe une suite (xn )n∈N d’éléments xn ∈ [a, b]
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
telle que
56
lim f (xn ) = S. La suite (xn )n∈N est bornée (car [a, b] est borné),
n→+∞
donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe un sous-suite (xnk )k∈N
qui converge. Notons p la limite de cette sous-suite. L’intervalle [a, b] est fermé,
donc p ∈ [a, b]. Par la continuité de f nous avons
f (p) = lim f (xnk ) = S.
k→+∞
En particulier, S < ∞ donc f est bornée et atteint son maximum.
Remarque. Si l’intervalle est ouvert, semi-ouvert ou non-borné ce résultat
n’est plus valable. Par exemple, la fonction identité x 7→ x définie sur ]0, 1[ est
bornée et continue mais n’atteint ni son supremum 1 ni son infimum 0.
Théorème 2.10. - Théorème de la valeur intermédiaire. Soit f une
fonction continue définie sur l’intervalle borné et fermé [a, b] et f (a) < f (b).
Alors pour tout nombre réel r tel que f (a) < r < f (b), il existe un c ∈]a, b[ tel
que f (c) = r. r est dit valeur intermédiaire.
Démonstration. On considère l’ensemble borné E = {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ r}.
Noter que E ̸= ∅ puisque a ∈ E. On pose c := sup E. c est un point adhérent
à E, donc il existe une suite d’éléments xn ∈ S qui convege vers c. Par la
continuité de f :
f (c) = lim f (xn ) ≤ r.
n→+∞
r < f (b) implique c < b. Par conséquent, l’intervalle semi-ouvert ]c, b] est non
vide et f (x) > r pour tout x ∈]c, b]. Par conséquent,
f (c) = lim f (c +
n→+∞
1
) ≥ r.
n
d’où f (c) = r.
Remarque. Si f (a) > f (b), la conclusion du théorème de la valeur intermédiaire
reste évidemment vraie en appliquant le théorème à −f .
Théorème 2.11. - Théorème du transport des intervalles. Soit f une
fonction continue définie sur l’intervalle borné et fermé [a, b]. Alors l’ensemble
des images de f est l’intervalle borné et fermé [ min f (x), max f (x)].
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Démonstration. Le théorème du transport des intervalles est un corollaire du
théorème 2.9 et du théorème de la valeur intermédiaire.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
57
L’image d’une fonction continue sur [a, b] et le théorème de la valeur
intermédiaire.
Corollaire (Solutions des équations). Soit f une fonction continue définie
sur l’intervalle borné et fermé [a, b] et f (a)f (b) ≤ 0. Alors léquation f (x) = 0
admet au moins une solution dans [a, b].
Proposition 2.6.1. Soit h : [0, 1] → [0, 1] continue. Alors l’équation
x = h(x)
admet au moins une solution x̂ dans [0, 1]. On appelle x̂ un point fixe de h 5 .
Plus généralement, soit g : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue et surjective.
Alors l’équation
g(x) = h(x)
admet au moins une solution x̂ dans [0, 1].
Démonstration. Posons f (x) = g(x) − h(x). La fonction g est surjective, alors il
existe c, d ∈ [0, 1] tels que g(c) = 0 et g(d) = 1. Par conséquent f (c) = −h(c) ≤ 0
et f (d) = 1 − h(d) ≥ 0. Par le corollaire ci-dessus il existe un x̂ tel que f (x̂) = 0.
En particulier, si g(x) = x, g est surjective et il existe un point fixe de h.
Proposition 2.6.2.
1. Soit I un intervalle et f : I → J une fonction continue et injective. Alors f est strictement monotone.
2. Soit I un intervalle et f : I → J une fonction continue et bijective. Alors
sa fonction réciproque f −1 : J → I est continue.
Démonstration.
1. Il suffit de considérer le cas I = [a, b], sinon prendre
a, b ∈ I, a < b arbitraire pour montrer la stricte monotonie sur tout sousintervalle borné et fermé de I, donc sur I. Sans perte de généralité on peut
5. C’est le théorème de Brouwer (1881-1966) pour des fonctions f : R → R
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
58
supposer que f (a) < f (b). Soit x1 , x2 ∈]a, b[, x1 < x2 arbitraires. L’injectivité de f implique que f (x1 ), f (x2 ) ∈]f (a), f (b)[ puisque si, par exemple,
f (x1 ) < f (a) alors le théorème de la valeur intermédiaire garantit l’existence d’un c ∈]x1 , b[ tel que f (c) = f (a) ce qui est en contradiction avec
l’injectivité. De plus f (x1 ) ̸= f (x2 ). Si f (x1 ) > f (x2 ) par le théorème
de la valeur intermédiaire il existe c ∈]x2 , b[ tel que f (c) = f (x1 ) d’où la
contradiction.
2. Comme avant il suffit de considérer le cas I = [a, b]. Sans perte de généralité
on peut supposer que f (a) < f (b), c’est-à-dire f est strictement croissante
d’où J = [f (a), f (b)]. Soit (yn ) une suite d’éléments yn ∈ J qui converge
vers y. Noter que y ∈ J car J est fermé. On définit xn := f −1 (yn ). Alors
xn ∈ I = [a, b]. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une
sous-suite (xnk ) = (f −1 (ynk )) qui converge vers un x ∈ I :
x = lim f −1 (ynk ).
k→+∞
En appliquant la fonction continue f à cette identité on obtient :
f (x) = f ( lim f −1 (ynk )) = lim f (f −1 (ynk )) = y.
k→+∞
k→+∞
S’il y a une autre sous-suite (xmk ) = (f −1 (ymk )) avec limite x̄ ∈ I on
trouve par le même argument que f (x̄) = y d’où x = x̄ grâce à l’injectivité
de f . Par conséquent, toute la suite (xn ) converge vers x. Il en suit que
pour toute suite (yn ) une suite d’éléments yn ∈ J qui converge vers y :
lim f −1 (yn ) = x = f −1 (y),
n→+∞
c’est-à-dire f −1 est continue en tout y ∈ J.
Une fonction continue strictement monotone sur [a, b] et sa fonction réciproque.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
2.7
59
Suites fortement divergentes
Introduction. Parmi toutes les suites divergentes, nous distinguerons en particulier celles qui tendent vers l’infini.
Définition. On dit que la suite (xn ) tend vers ∞ (respectivement −∞) , si
pour tout C ∈ R, il existe un N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , xn > C
(respectivement xn < C) et on note lim xn = ∞ (respectivement lim xn =
n→+∞
n→+∞
−∞). Une suite est dite fortement divergente si elle tend vers ∞ (respectivement
−∞).
Exemple. La suite arithmétique définie par xn+1 = xn + d et x0 = a tend
vers ∞ si d > 0 et tend vers −∞ si d < 0. En effet, par récurrence on peut
facilement démontrer que xn = a + nd.
Règles de calcul pour des valeurs limites. Dans certains cas, les règles
de calcul (2.1)-(2.3) pour des valeurs limites de suites convergentes s’étendent
aux suites fortement divergentes si nous définissons les règles suivantes.
Théorème 2.12. - Règles de calcul pour le symbole ∞.
∞ + ∞ = ∞,
c + ∞ = ∞,
∞ · ∞ = ∞,
c/∞ = 0,
c · ∞ = ∞,
0/∞ = 0
pour tout
pour tout
c∈R
c>0
Remarque. Evidemment on ne définit pas les expressions dites indéfinies
comme 0 · ∞, ∞/∞, ∞ − ∞, ∞/0 ou c/0.
2.8
Limites des suites récurrentes
On présente une approche assez générale pour résoudre les exercices qui
consistent à déterminer la limite d’une suite récurrente. Les suites à étudier
sont des récurrences linéaires de la forme xn+1 = qxn + b ou xn+1 = (1 −
q)xn + qxn−1 et des récurrences non-linéaires xn+1 = f (xn ). La théorie et l’algorithme pour résoudre explicitement les suites linéaires sont traités soit dans
un cours d’algèbre linéaire soit dans un cours sur des équations différentielles et
des systèmes dynamiques. Ici on s’intéresse uniquement au problème de convergence. Pour des suites non-linéaires, on présente une méthode générale pour
étudier le problème de convergence.
2.8.1
Suites récurrentes linéaires
La récurrence xn+1 = qxn + b
Suites géométriques. Soit a, q ∈ R (ou plus généralement a, q ∈ C). Considérons
la suite géométrique (xn )n∈N définie par
xn = aq n
(2.15)
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
60
Une suite géométrique est caractérisée par la propriété xn+1 = qxn et la valeur
initiale x0 = a. La suite (xn )n∈N est convergente si |q| < 1 ou q = 1 sinon elle
est divergente (sauf si a = 0). Plus précisement, si (xn ) est une suite satisfaisant
xn+1 = qxn et x0 = a ̸= 0, alors

0
si |q| < 1,



a
si q = 1,
lim xn =
(2.16)
n→+∞

+∞
sgn
(a)
si q > 1,



n’existe pas autrement pour a ̸= 0.
Suites récurrentes. Soit xn définie par
xn+1 = qxn + b
et
x0 = a
(2.17)
pour un b ̸= 0. Nous supposons que la suite (xn )n∈N converge et tend vers une
limite x. La limite x est nécessairement une solution de l’équation linéaire
x = qx + b
i.e. x =
b
1−q
(2.18)
Par conséquent, si q = 1 la suite ne converge pas. On définit yn par yn = xn − x.
En cas de convergence, la suite (yn )n∈N doit converger vers 0. En utilisant x =
qx + b nous trouvons
xn+1 − x = qxn + b − qx − b = q(xn − x)
ou
yn+1 = qyn
(2.19)
et y0 = x0 − x = a − x. On en déduit le résultat suivant :
Proposition 2.8.1. - Universalité de la limite. La suite récurrente définie par
(2.17) converge pour toute valeur initiale x0 si et seulement si |q| < 1. Dans ce
cas
b
lim xn =
.
n→+∞
1−q
En particulier, la suite (xn )n∈N est donnée par
xn =
Exemple.
b
bq n
−
+ x0 q n .
1−q 1−q
Calculer la limite de la suite (xn )n∈N définie par
xn+1 =
1
(3xn + 1),
4
x0 = 0
Corrigé. Supposons que (xn ) converge. Notons x sa limite qui satisfait x =
1
4 (3x + 1), i.e. x = 1. Posons yn = xn − x = xn − 1. Alors
xn+1 − 1 =
1
3
(3xn + 1) − 1 = (xn − 1)
4
4
ou
3
yn
4
et y0 = x0 − 1 = −1. La suite (yn )n∈N est une suite géométrique avec q = 43 .
Donc (yn )n∈N converge vers 0. Par conséquent, xn = yn + x = yn + 1 converge
vers 1.
yn+1 =
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
61
La récurrence xn+1 = (1 − q)xn + qxn−1
Transformation du problème. Considérons la suite récurrente (xn )n∈N définie
par
xn+1 = (1 − q)xn + qxn−1 et x0 = a0 , x1 = a1
(2.20)
où a0 , a1 ∈ R. La stratégie présentée avant (i.e. supposer que (xn )n∈N converge
et calculer la limite pour construire une suite (yn )n∈N qui converge vers zéro)
ne s’applique plus directement car l’équation pour la limite x donne l’équation
triviale x = (1 − q)x + qx qui est satisfaite pour tout x. Pour trouver de nouveau
une suite géométrique, on définit d’abord une suite (dn )n∈N par dn = xn −xn−1 .
La suite (dn )n∈N satisfait la relation de récurrence :
dn+1 = xn+1 − xn = (1 − q)xn + qxn−1 − xn
= −qxn + qxn−1
= −qdn
et d1 = x1 − x0 = a1 − a0 . Donc (dn )n∈N est une suite géométrique. Ensuite
on définit la suite (sn )n∈N par sn = xn + qxn−1 . La suite (sn )n∈N satisfait la
relation de récurrence
sn+1 = xn+1 + qxn = (1 − q)xn + qxn−1 + qxn
= xn + qxn−1
= sn
et s1 = x1 + qx0 = a1 + qa0 . Donc (sn )n∈N est une suite constante. On en déduit
le résultat suivant :
Proposition 2.8.2. La suite récurrente définie par (2.20) converge pour tout
couple (x0 , x1 ) = (a0 , a1 ) si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas
lim xn =
n→+∞
a1 + qa0
1+q
Démonstration. La suite (xn )n∈N converge si et seulement si elle est de Cauchy,
donc si et seulement si la suite (dn )n∈N converge vers 0, i.e. |q| < 1. Pour calculer
sa limite on utilise la suite constante (sn ). On pose x = lim xn . Alors
n→+∞
a1 + qa0 = s1 = lim sn = lim xn+1 + q lim xn = (1 + q)x.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Remarque. La relation de récurrence (2.20) est une relation de récurrence
linéaire qui peut être résolue explicitement (voir algèbre linéaire). On trouve
que
xn =
a1 + qa0
(a0 − a1 )(−q)n
+
.
1+q
1+q
On peut vérifier ce résultat par récurrence.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
2.8.2
62
Suites récurrentes non-linéaires
Une méthode générale. Soit xn définie par
xn+1 = f (xn )
et
x0 = a
(2.21)
pour une fonction réelle continue f . Nous supposons que la suite (xn )n∈N converge
et tend vers une limite x∗ . La limite x est nécessairement une solution de
l’équation
x∗ = f (x∗ ).
(2.22)
Une telle solution x∗ est aussi appelée un point fixe de f . Supposons que cette
équation possède une seule solution. (S’il existe plusieurs solutions, on prend
celle qui semble être la bonne limite ou on cherche des bornes sur la suite
(xn )n∈N pour exclure toutes les solutions sauf une ; s’il n’y a pas de solution,
alors (xn )n∈N ne peut pas converger). Comme pour le cas linéaire, on définit yn
par yn = xn − x∗ . En cas de convergence, (yn )n∈N doit converger vers 0. En
utilisant x∗ = f (x∗ ) nous trouvons
xn+1 − x∗ = f (xn ) − f (x∗ )
ou
yn+1 = f (x∗ + yn ) − f (x∗ )
(2.23)
Ensuite on essaie de trouver des estimations de yn qui garantissent que |f (x∗ +
yn ) − f (x∗ )| ≤ q|yn | pour une constante q ∈ R telle que 0 < q < 1. Dans ce cas
|yn+1 | ≤ q|yn |
et donc par récurrence
|yn | ≤ q n |y0 |
d’où
lim yn = 0 ou
n→+∞
2.8.3
lim xn = x∗ .
n→+∞
Exercices avec corrigés
Introduction. Les exercices sont résolus par la méthode présentée ci-dessus.
Bien évidemment il n’est pas exclu que pour certains problèmes il existe une
solution plus directe.
Problème 1.
Calculer la limite de la suite (xn )n∈N définie par
xn+1 =
1
(3xn − x2n + 4),
3
x0 = 0.
Corrigé. Si (xn )n∈N converge, alors sa limite x est une solution de l’équation
de degré 2 :
1
x = (3x − x2 + 4)
3
qui admet les deux racines x+ = 2 et x− = −2. Nous allons exclure la solution
x− = −2. Notons que 31 (3x − x2 + 4) admet son maximum pour xmax = 32 . Donc
xn+1 =
1
25
1
(3xn − x2n + 4) ≤ (3xmax − x2max + 4) =
3
3
12
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
63
pour tout n ≥ 0. Nous allons montrer que xn ≥ 0 implique xn+1 ≥ 0. D’après
1
2
l’inégalité ci-dessus, nous avons xn ≤ 25
12 . Notons d’abord que 3 (3x − x + 4) =
1
(1
+
x)(4
−
x).
Donc
si
x
≥
0,
alors
n
3
xn+1 =
1
(1 + xn )(4 − xn ) ≥ 0
3
car les deux facteurs sont positifs. Par conséquent, si la suite (xn )n∈N converge
sa limite est x = x+ = 2.
Ensuite nous montrons que la suite (xn )n∈N est convergente. Posons yn =
xn − x = x − 2. La suite (yn )n∈N satisfait
1
(3xn − x2n + 4) − 2
3
1
= (1 − xn )(xn − 2)
3
1
= (1 − xn )yn .
3
yn+1 = xn+1 − 2 =
Noter que 0 ≤ xn ≤ 25/12 implique −13/12 ≤ 1 − xn ≤ 1 et donc
1 − xn 13
3 ≤ 36 = q
ce qui implique la convergence, i.e. lim xn = 2.
n→+∞
Problème 2.
Calculer la limite de la suite (xn )n∈N définie par
xn+1 =
xn + 1
,
3xn + 1
x0 = 1
Corrigé. Si (xn )n∈N converge, alors sa limite x est une solution de l’équation
de degré 2 :
x+1
x=
3x + 1
√
√
1
qui admet les deux racines x+ = 3 3 et x− = − 13 3. On montre facilement par
récurrence que xn ≥ 0 implique xn+1 ≥ 0, donc xn ≥ 0 pour tout entier naturel
n car x0 = 1 ≥ √
0. Par conséquent, si la suite (x√
n )n∈N converge elle converge
vers x = x+ = 13 3. Posons yn = xn − x = xn − 13 3. La suite (yn )n∈N satisfait
x+1
xn + 1
−
3xn + 1 3x + 1
xn − x
= −2
(3x + 1)(3xn + 1)
−2yn
=
(3x + 1)(3xn + 1)
yn+1 = xn+1 − x =
De plus, en utilisant xn ≥ 0 nous avons
2
−2
2
(3x + 1)(3xn + 1) ≤ 3x + 1 = √3 + 1 = q < 1
√
d’où la convergence de la suite (xn )n∈N : lim xn = 13 3.
n→+∞
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
Problème 3.
64
Calculer la limite de la suite (xn )n∈N définie par
xn+1 =
1
,
1 + xn
x0 = 0
Corrigé. C’est un problème du même type que le problème 2. Si (xn )n∈N
converge, alors sa limite x est une solution de l’équation de degré 2 :
1
1+x
√
√
qui admet les deux racines x+ = − 12 + 12 5 et x− = − 21 − 12 5. On montre
facilement par récurrence que xn ≥ 0 implique xn+1 ≥ 0, donc xn ≥ 0 pour
tout entier naturel n car x0 = 0. Par√conséquent, si la suite (xn )n∈N converge,
elle converge vers x = x+ = − 21 + 12 5. Posons yn = xn − x. La suite (yn )n∈N
satisfait
x=
1
1
−
1 + xn
1+x
xn − x
=−
(1 + x)(1 + xn )
−yn
=
.
(1 + x)(1 + xn )
yn+1 = xn+1 − x =
De plus, en utilisant xn ≥ 0 nous avons
−1
2
1
(1 + x)(1 + xn ) ≤ 1 + x = 1 + √5 = q < 1
√
d’où la convergence de la suite (xn )n∈N : lim xn = − 12 + 21 5
n→+∞
Remarque. La suite (xn )n∈N représente le développement de − 12 +
fraction continue :
1 1√
5=
− +
2 2
1
5 en
1
1+
1+
Problème 4.
√
.
1
1+
1
2
1
1 + ···
Calculer la limite de la suite (xn )n∈N définie par
√
xn+1 = 3xn , x0 = 1.
Corrigé. On va appliquer la même méthode. Si (xn )n∈N converge, alors sa
limite x est une solution de l’équation de degré 2 :
x2 = 3x
qui admet les deux racines x+ = 3 et x− = 0. On montre facilement par
récurrence que xn ≥ 1 implique xn+1 ≥ 1, donc xn ≥ 1 pour tout entier naturel
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
65
n car x0 = 1. Par conséquent, si la suite (xn )n∈N converge elle converge vers
x = x+ = 3. Posons yn = xn − x. La suite (yn )n∈N satisfait
√
√
yn+1 = xn+1 − x = 3xn − 3x
√ xn − x
√
= 3√
xn + x
√
yn 3
√
=√
xn + x
De plus, en utilisant xn ≥ 1 nous avons
√
√
√
3
3
3
√
xn + √x ≤ 1 + √x = 1 + √3 = q < 1
d’où la convergence de la suite (xn )n∈N : lim xn = 3.
n→+∞
Remarque. On peut facilement donner la suite (xn )n∈N explicitement : on
pose zn = ln xn , alors zn vérifie la relation de récurrence linéaire :
zn+1 =
zn
ln 3
+
,
2
2
z0 = 0.
Sa solution est donnée par
(
)
zn = ln(3) 1 − 2−n
donc
xn = 3 · 3−2
2.8.4
−n
.
Le théorème du point fixe de Banach
En généralisant la méthode presentée dans 2.8.2, on peut démontrer un
théorème célèbre (et important !) :
Théorème 2.13. - théorème du point fixe de Banach. 6 Soit I un intervalle fermé et f : I → I une application contractante, c’est-à-dire il existe
0 < q < 1 tel que
|f (x) − f (x′ )| ≤ q|x − x′ |
(2.24)
pour tout x, x′ ∈ I. Alors f admet un unique point fixe x∗ dans I.
Démonstration. Pour x0 ∈ I, on considère la récurrence (2.21). Notons d’abord
que xn ∈ I implique xn+1 ∈ I puisque f : I → I. Par récurrence pour tout
entier naturel n :
|xn+1 − xn | = |f (xn ) − f (xn−1 )| ≤ q|xn − xn−1 | = . . . ≤ q n |x1 − x0 |.
6. D’après Stefan Banach (1892 - 1945). Nous le considérons avec le théorème de BolzanoWeierstrass comme un des théorèmes fondamentaux de l’Analyse. Ses applications principales
au calcul différentiel et intégrale seront discutées en Analyse 2.
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
66
La suite (xn )n∈N est une suite de Cauchy puisque pour tout n, k des entiers
positifs, par une somme téléscopique et l’inégalité triangulaire :
k
∑
|xn+k − xn | = (xn+i − xn+i−1 )
i=1
≤
k
∑
|xn+i − xn+i−1 |
i=1
≤
k
∑
q n+i−1 |x1 − x0 | = q n |x1 − x0 |
i=1
n
k
∑
q i−1
i=1
q |x1 − x0 |
≤
.
1−q
Soit x∗ la limite de cette suite. Noter que x∗ ∈ I puisque I est fermé. On montre
que x∗ est un point fixe de f . Pour tout n :
|f (x∗ ) − x∗ | = |f (x∗ ) − f (xn ) + xn+1 − x∗ |
≤ |f (x∗ ) − f (xn )| + |xn+1 − x∗ |
≤ q|xn − x∗ | + |xn+1 − x∗ | → 0 lorsque n → ∞.
Il reste à démontrer l’unicité. Soit x∗∗ ∈ I un autre point fixe, alors
|x∗∗ − x∗ | = |f (x∗∗ ) − f (x∗ )| ≤ q|x∗∗ − x∗ |
d’où x∗∗ = x∗ .
Remarque. La propriété d’être une application contractante seule ne suffit
pas pour garantir l’existence d’un point fixe dans I. Il faut que f [I] soit dans I
(pour pouvoir appliquer le théorème cette adaptation de f représente souvent
x+a
la partie difficile !). Par exemple, soit I = [0, 1] et f (x) =
, a ≥ 0. Alors f
2
1+a
est contractante et f [I] = [0,
]. Le théorème assure l’existence d’un point
2
fixe unique dans I si a ≤ 1. Si a > 1, alors f [I] n’est plus dans I. Par un calcul
explicite on voit que x∗ = a est l’unique point fixe de f sur R, mais a ∈
/ I et f
n’a aucun point fixe dans I.
Remarque. Le théorème du point fixe nous assure l’existence d’une solution
unique x∗ de l’équation x = f (x) dans I pour toute application contractante
f : I → I. Il suit de la démonstration que toute suite récurrente définie par
xn+1 = f (xn ) avec condition initiale x0 dans I converge vers x∗ . Le théorème
permet donc d’analyser plus profondément ces récurrences. Pour l’illustrer, nous
allons réexaminer un exemple précédent :
Exemple.
On considère la récurrence définie par
xn+1 =
1
(3xn − x2n + 4).
3
Pour pouvoir appliquer le théorème du point fixe, on espère pouvoir trouver
1
un intervalle fermé I sur lequel f (x) := (3x − x2 + 4) est une application
3
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
67
(3)
25
=f
pour
12
2
tout x ∈ R et f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ [−1, 4] (les zéros se trouvent en −1 et
25
4). Par conséquent, f : [−1, 4] → [0, ] ⊂ [−1, 4]. Il faut encore vérifier si f est
12
une application contractante sur ce domaine. On a
contractante f : I → I. On avait déjà démontré que f (x) ≤
f (x) − f (x′ ) = (x − x′ )
3 − x − x′
.
3
Donc f n’est pas une application contractante sur ce domaine puisqu’en choissisant x = 3, x′ = 4 le deuxième facteur devient −4/3 donc plus grand que 1 en
valeur absolue (de même pour x, x′ ≤ 0). On essaie de prendre un domaine plus
5
25
petit. Un choix suffisant est, par exemple, I = [1, ] puisque f (x) ∈ [1, ] ⊂ I
2
12
pour tout x ∈ I et
′
−2
3−x−x
1
≤
≤
3
3
3
donc le choix q = 2/3 est admissible. Par le théorème du point fixe de Banach
pour toute valeur initiale x0 ∈ I, la suite définie par cette récurrence converge
vers le point fixe x∗ = 2. Noter que la valeur initiale x0 = 0 n’est pas dans I,
mais x1 = 4/3 ∈ I d’où la convergence vers x∗ = 2.
Le graphe de f (x) :=
2.9
1
(3x − x2 + 4) et la droite d’équation y = x.
3
Supplément : Suites de nombres complexes
Les résultats de ce chapitre s’étendent aux suites des nombres complexes
à l’exception des critères de convergence qui sont basés sur les propriétés d’un
corps ordonné. Le module |·| remplace la valeur absolue pour mesurer la distance
entre les nombres. Par conséquent, en analogie avec la formulation métrique du
CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUITÉ
68
processus de limite dans l’équation (2.1), on définit la convergence d’une suite
des nombres complexes zn :
lim zn = z
n→+∞
⇔
lim |zn − z| = 0.
n→+∞
(2.25)
Une suite (zn )n∈N est bornée si et seulement s’il existe une constante C > 0
telle que |zn | ≤ C pour tous n ∈ N. Toute suite bornée vérifie le théorème de
Bolzano-Weierstrass :
Théorème 2.14. - théorème de Bolzano-Weierstrass pour des suites
dans C. De toute suite bornée (zn )n∈N , on peut extraire une sous-suite convergente (znk )k∈N .
Démonstration. Pour tout n ∈ N on pose zn = xn + iyn avec xn , yn ∈ R la
partie rélle et la partie imaginaire de zn . Par la définition du module, les suites
numériques (xn )n∈N , (yn )n∈N sont bornées puisque |xn | ≤ |zn | ≤ C et |yn | ≤
|zn | ≤ C pour un C > 0. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass pour des suites
numériques, il existe une sous-suite (xn )n∈N , notée (xnm )m∈N convergente. Ensuite on applique le théorème de Bolzano-Weierstrass à la sous-suite (ynm )m∈N
pour extraire une sous-suite convergente, notée (ynmk )k∈N . Par construction,
la suite (xnmk )k∈N est une sous-suite de la suit convergente (xnm )m∈N donc
convergente. Il en suit la convergence de (znmk )k∈N .
Comme avant, le théorème de Bolzano-Weierstrass implique le théorème fondamental des suites de Cauchy :
Théorème 2.15. - théorème fondamental des suites de Cauchy dans
C. Une suite (zn )n∈N est une suite de Cauchy si et seulement si elle converge.
2.9.1
Fonctions continues
La défintion des fonctions continues f : R −→ C, f : C −→ R ou f : C −→
C est donnée par la commutativité avec le processus de limite comme dans
l’équation (2.9).
Exemples de fonctions continues.
1. La fonction f : R −→ C donnée par f (x) = eipx := cos(px) + i sin(px),
p ∈ R est continue en tout x ∈ R.
2. Les fonctions f : C −→ R données par f (z) = z + z̄, f (z) = i(z̄ − z),
f (z) = z z̄ et f (z) = |z| sont continues en tout z ∈ C.
n
∑
ak z k ,
3. Les fonctions polynomiales f : C −→ C données par f (z) =
ak ∈ C sont continues en tout z ∈ C.
k=0
4. Si f : C −→ C est continue en z0 ∈ C, alors f (z̄) et f (z) sont continues
en z0 ∈ C.