Correction

DS 3
Terminale S 3
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Exercice 1
PARTIE A
Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n .
1. La suite (un ) est majorée. : VRAI
On a : (−1)n = 1 si n est pair
Et : (−1)n = −1 si n est impair
Donc : un ≤ 1 pour tout n de N
(un ) est donc majorée par 1
2. La suite (un ) converge. : FAUX
Il n’existe aucun intervalle ouvert d’amplitude 0, 1 par exemple qui contienne
en même temps les nombres 1 et −1
un
3. La suite de terme général
converge. VRAI
n
On a : pour tout n de N :
1
1
− ≤ un ≤
n
n
Donc (un ) converge vers 0 d’après le théorème des gendarmes
4. Toute suite (vn ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
FAUX
1
Contre exemple : un = 5 + est décroissante, strictement positive sur N∗ mais
n
ne converge vers 0
PARTIE B
On considère les suites (un ) , (vn ) et (wn ).
On suppose que :
8 un ≤ vn ≤ wn pour tout n de N
8 (un ) converge vers 5 et (wn ) converge vers 1
1. La suite (vn ) est majorée VRAI
La suite (wn ) étant convergente elle est majorée .
Donc la suite (un ) est majorée
2. La suite (vn ) converge FAUX
Contre exemple : vn = 2 + cos(n) ne converge pas
1
1
Et : 1 − ≤ vn ≤ 5 +
n
n
3. Si la suite (vn ) converge elle converge vers 0 FAUX
Si la suite (vn ) converge vers un nombre l
On a d’après une propriété du cours , par passage à la limite dans l’inégalité :
1≤l≤5
Donc l ne peut pas çetre nul.
Hervé Gurgey
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27 novembre 2010
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4. Si la suite (vn ) est décroissante alors elle converge VRAI
LA suite (vn ) est décroissante minorée donc elle converge par application du
théorème de convergence monotone
5. La suite (vn ) converge si et seulement si elle est décroissante FAUX
Si la suite est croissante , étant majorée ( voir 1.) elle converge aussi.
Exercice 2
1. Déterminer les limites suivantes
2 :
5n + ncos(n)
(a) Recherceh de : lim
n→+∞
n2 + 1
On a : −1 ≤ cos(n) ≤ 1 pour tout n de N
Donc : −n ≤ ncos(n) ≤ n pour tout n de N
Donc : −n + 5n2 ≤ ncos(n) + 5n2 ≤ n + 5n2 pour tout n de N
−n + 5n2
ncos(n) + 5n2
n + 5n2
Donc :
≤
≤ 2
pour tout n de N
n2+ 1
n2 + 1 n +1
5n2 )
5n2 − n)
= lim
Or :
lim
=5
2+1
2
n→+∞
n→+∞
n
n
2
2
5n
5n + n
= lim
Et :
lim
=5
2
n→+∞
n→+∞
n +1
n2
Donc , en appliquant le
théorème des gendarmes , on a :
2
5n + ncos(n)
=5
lim
n→+∞
n2 + 1



1
n 
5 
1−
4 n
5
5
> 1 donc
lim
= +∞
n→+∞ 4
4



(b) Recherche de lim 
n→+∞ 
On a :

1
n 
=0
5 
1−
4
On a en effet la forme limite : « 1/(1 − ∞) »
Donc :

lim 
n→+∞ 
2. (a) On considère la suite (Un ) définie par : Un = 1 + e−1 + e−2 + · · · · · · + e−n
Démontrons que la suite (Un ) est croissante :
On a pour tout n de N :
Un+1 −Un = 1 + e−1 + e−2 + · · · · · · + e−n + e−(n+1) − 1 + e−1 + e−2 + · · · · · · + e−
e−(n+1)
Or e−(n+1) > 0 pour tout n
Donc la suite est croissante
Hervé Gurgey
2
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e
× 1 − e−n−1
e−1
Un est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier
1
terme 1 et de raison e−1 = .
e
−(n+1)
1−e
Donc : Un =
1 − e−1
1 e−1
Or 1 − e−1 = 1 − =
e
ee
On obtient donc : Un =
× 1 − e−n−1
e−1
1
De plus : 0 < e−1 = < 1
n e
Donc :
lim e−1 = 0
n→+∞
e
Donc :
lim Un =
n→+∞
e−1
(b) Démontrer que pour tout n de N :
Hervé Gurgey
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Un =
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