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TD 2 Analyse
Université Paris 7
Exercice 1. Montrer que la convergence d’une suite sn implique la convergence
de la suite |sn |. Est ce-que l’autre direction est vraie ?
Exercice 2. Montrer que une suite sn converge vers 0 si et seulement si |sn |
converge vers 0.
Exercice 3. Soient an une suite qui converge vers 0 et bn une suit bornée.
Montrer que an bn converge vers 0.
Exercice 4. Donner un exemple d’une suite an qui converge et une suite bornée
bn telles que an bn ne converge pas. Déduire que l’hypothèse de la converge de
an vers 0 dans l’exercice 3 est nécessaire.
Exercice 5. Montrer que an ∈ ZN converge si et seulement si an est stationnaire.
Exercice 6. Soit an une suite de réels non nuls vérifiant
an+1
→0
an
Déterminer la limite de an .
Exercice 7. Soit a ∈ R. On considère la suite un défini par : u0 = a et
un+1 = u2n − 2un + 2 quel que soit n ∈ N.
1. Étudier la fonction f (x) = x2 − 2x + 2.
2. Montrer que la suite un est monotone.
3. Discuter suivant a l’existence et la valeur de limn→∞ un .
Exercice 8. Soit a1 , a2 des nombres réels. Montrer que la suite définie par
2
l’équation an+2 = an+12+an converge vers a1 +2a
. On pourra utiliser l’identité
3
1
an+2 − an+1 = 2 (an − an+1 ).
Exercice 9. Les suites suivantes sont-ils croissantes, décroissantes, bornées ? et
Déterminer leur limite s’il existe.
√
n
an = sin(n), bn = n+1
, cn = log(n), dn = log(n)
1 − fn où
n , fn+1 = 1 −
0 < f0 < 1, gn =
fn+1
fn ,
hn+1 =
hn +1
2
où h0 est un nombre réel,
Exercice 10. Déterminer la convergence des suites suivantes et calculer la
limite s’il existe
4
+5n
an = 1, bn = n, cn = n3 , dn = 7n6n
en = 1 + (−1)n , fn =
4 +n3 +2 ,
√
n
1
cos n
2
n sin n , gn = sin(n), hn = n , in = n + 1 − n, jn = 2−n , kn = 3n , ln =
2n
n! ,
mn =
2(−1)
n
n (−1)
3
nn
n! ,
n+1
n
qn =
√
19n3 −33n2 +(−1)n n+1+n3 cos (n16 )
√
,
n4 +n n
.
1
rn =
9
5
3
n2
+n 7
n 8 +n 2
3
, sn =
Exercice 11. On suppose que les suites extraites a2n et a2n+1 convergent vers
la même limite. Montrer que an converge.
Exercice 12. Soit an une suite réelle telle que :
∀n, p ∈ N∗ , 0 ≤ un+p ≤
n+p
.
np
En utilisant l’exercice 11, montrer que un converge vers 0.
Exercice 13. Soient an et bn deux suites telles que
0 ≤ an ≤ 1, 0 ≤ bn ≤ 1 et an bn → 1
que dire de ces suites ?
Exercice 14. Soit an une suite bornée. On définit les suite bn = sup{an , an+1 . . . }
et cn = inf{an , an+1 , an+2 . . . }.
1. Montrer que les suites bn et cn sont bien définies et qu’ils sont bornées
2. Montrer que bn est décroissante et cn est croissante
3. Déduire que les limites de bn et cn existent. On appelle la limite de bn la
limite supérieure de an et on appelle la limite de cn la limite inférieure
de an . On note
def
def
lim sup an = lim bn et lim inf an = lim cn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
4. Montrer que lim inf n→∞ an ≤ lim supn→∞ an
5. Montrer que la suite an converge si et seulement si lim supn→∞ = lim inf n→∞
et dans ce cas on a limn→∞ an = lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an .
6. Montrer qu’il existe une suite extraite de an qui converge vers lim supn→∞ an
et qu’il existe une suite extraite de an qui converge vers lim inf n→∞ an
Exercice 15. On suppose que an n’est pas bornée et an ≥ 0. Montrer qu’elle
admet une suite extraite qui diverge vers +∞.
Exercice 16. (Difficile ?) Montrer que chaque suite admet une suite extraite
soit croissante soit décroissante.
2