Leçon 17 Compléments sur les suites

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Leçon 17
Compléments sur les suites
1 rappels et résultats utiles
suite convergente u est convergente si il existe un réel ℓ tel que tout intervalle ouvert de centre ℓ contient tous
les termes de (un ) à partir d’un certain rang.
suite divergente une suite qui ne converge pas est dite divergente. Les suites qui ont une limite infinie ou pas
de limite sont divergentes.
suite majorée u est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout n de N, un 6 M
suite minorée u est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que pour tout n de N, m 6 un

Les deux propriétés suivantes doivent ne pas être confondues.
suite non majorée u n’est pas majorée si et seulement si pour tout réel A, il existe un entier n de N tel que
un > A
suite tendant vers +∞
lim un = +∞ ⇔ pour tout réel A, il existe un entier n0 de N tel que
n→+∞
n > n0 ⇒ u n > A
Théorème 17.1. toute suite convergente est bornée.
Démonstration. Si la suite u converge vers ℓ, l’intervalle ]ℓ − 1; ℓ + 1[ contient tous les termes un à partir d’un
certain rang u0 . Si on appelle M le plus grand des nombres u0 , u1 , . . . , un0 −1 et ℓ + 1, on peut écrire un 6 M
pour tout n de N ce qui prouve que u est majorée par M . On montre de la même façon que u est minorée.
Théorème 17.2. si lim |un | = 0, alors lim un = 0
n→+∞
n→+∞
Démonstration. pour tout n de N, −|un | 6 un 6 |un |. Comme le premier et le troisième terme tendent vers 0,
on peut conclure avec le théorème des gendarmes que le deuxième tend vers 0.
2 Suites géométriques
2.1 rappel
Une suite géométrique u de raison r vérifie un = u0 ×rn , un = u1 ×rn−1 et plus généralement un = up ×rn−p .
On suppose par la suite que u0 existe.
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3. SUITES MONOTONES
LEÇON 17. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES
2.2 inégalité de B ERNOULLI
Théorème 17.3. Pour tout x de R+ et tout n de N∗ , on a : (1 + x)n > 1 + nx
Démonstration. On pose sur R+ et tout n de N∗ , g(x) = (1 + x)n − (1 + nx).
On a g ′ (x) = n(1 + x)n−1 − n et g ′′ (x) = n(n− 1)(1 + x)n−2 . Comme n(n− 1) > 0 et 1 + x > 0, on a g ′′ (x) > 0.
Comme g ′ est croissante sur [0; +∞[ et comme g ′ (0) = 0 on a g ′ positive sur [0; +∞[.
Comme g est croissante et comme g(0) = 0, g est positive sur [0; +∞[.
2.3 convergence
Théorème 17.4. Soit u une suite géométrique de raison r et de premier terme u0 6= 0
– si r ∈]1; +∞[, u, a pour limite l’infini avec le signe de u0 ;
– si r = 1, u est une suite constante et sa limite est u0
– si r ∈] − 1, 1[, u a pour limite 0 ;
– si r ∈] − ∞; −1], u n’a pas de limite.
Démonstration. (idée de la démonstration)
– si r > 1, par exemple r = 1, 001, on a un = u0 × 1, 001n = u0 × (1 + x)n avec x = 0, 001.
Avec l’inégalité de B ERNOULLI, on a (1 + x)n > 1 + 0, 001n et comme lim 1 + 0, 001n = +∞, on en
n→+∞
déduit, avec le théorème de comparaison des limites lim 1, 001n = +∞. On peut conclure en utilisant
n→+∞
le signe de u0 .
– si 0 6 r < 1, par exemple
r= 0, 999, on a un = u0 × 0, 999n.
n
1
1
1
1
Comme
=
= +∞, ce qui entraîne
avec
> 1, on a lim
n→+∞ 0, 999n
0, 999n
0, 999
0, 999
lim
n→+∞
0, 999n = 0 et donc lim
n→+∞
un = 0
– si −1 < r 6 0, par exemple r = −0, 999 on a |un | = |u0 | × |(−0, 999)n| = |u0 | × 0, 999n . D’après ce qui
précède lim |un | = 0 et d’après le théorème 17.2, lim un = 0
n→+∞
n→+∞
3 suites monotones
3.1 théorème fondamental
Théorème 17.5 (admis). Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
3.2 encadrements
Théorème 17.6. Une suite décroissante qui converge vers 0 est positive
Démonstration. Soit u décroissante et convergente vers 0. Supposons qu’ il existe un entier p de N tel que up < 0.
Si on pose up = −a avec a < 0, comme u est décroissante, n > p ⇒ un 6 −a.
On constate qu’à partir du rang p, tous les un sont en dehors de l’intervalle ]−a; a[, ce qui est en contradiction
avec la convergence de u vers 0. fait
Théorème 17.7 (précisions). Soit u une suite croissante et majorée par un réel A. Elle converge vers un réel α et
l’on a
u0 6 un 6 α 6 A
de même :
Toute suite décroissante et minorée par un réel B converge vers un réel β et l’on a
B 6 β 6 un 6 u0
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4. DÉTERMINATION D’UNE LIMITE
Démonstration. Si u est croissante , elle est minorée par son premier terme u0 .
Si de plus elle converge vers un réel α , la suite w définie par wn = α − un est décroissante et converge vers
0. D’après le théorème 17.6, wn > 0 ce qui entraîne un 6 α.
On traduit cela en disant qu’une suite croissante et convergente est minorée par son premier terme et
majorée par sa limite.
Le théorème de conservation de l’ordre par passage à la limite permet d’écrire lim un 6 A et donc α ≤
n→+∞
A
remarque . le théorème 17.5 établit l’existence d’une limite mais ne permettent pas de la déterminer. La détermination se fera avec le théorème 17.9
Théorème 17.8. Une suite u croissante et non majorée vérifie lim un = +∞
n→+∞
De même une suite u décroissante et non minorée vérifie lim un = −∞
n→+∞
Démonstration. Si une suite u n’est pas majorée, pour tout réel A il existe un réel p tel que up > A.
Si de plus cette suite est croissante, n > p ⇒ un > up et donc n > p ⇒ un > A ce qui correspond à la
définition de la limite infinie.
4 détermination d’une limite dans le cas d’une suite récurrente
Théorème 17.9. Si la suite u vérifie un+1 = f (un ) , si u converge vers un réel ℓ et si f est continue en ℓ alors ℓ
vérifie
f (ℓ) = ℓ
Démonstration. On a lim un+1 = ℓ et lim f (un = f (ℓ) car f est continue en ℓ.
n→+∞
n→+∞
5 suites adjacentes
Deux suites u et v sont dites adjacentes si et seulement si
– une est croissante (par exemple u) ;
– l’autre ( donc v) est décroissante ;
– lim vn − un = 0
n→+∞
Théorème 17.10 (théorème des suites adjacentes). (♣) Si u et v sont adjacentes, elles convergent vers le même
réel ℓ.
Démonstration. L’idée est de montrer que u est majorée et v minorée. Pour montrer cela, on va d’abord montrer
un 6 vn
• Soit w la suite définie par wn = vn − un . Cette suite est décroissante car
wn+1 − wn = vn+1 − un+1 − vn + un = vn+1 − vn + un − un+1 .
| {z } | {z }
ngatif
ngatif
La première accolade est négative car la suite v est décroissante ; la deuxième est négative car la suite u est
croissante. La quantité wn+1 − wn est donc négative pour tout n de N ce qui prouve que w est décroissante.
• Comme la suite w est décroissante et converge vers 0, on en déduit avec le le théorème 17.6 que wn > 0
et donc que pour tout n de N, un 6 vn
On a donc pour tout n de N :
u0 6 un 6 vn 6 v0
• On en déduit que la suite (un ) est majorée par v0 et comme elle est croissante, elle converge, d’après le
le théorème 17.5, vers un réel α.
De même, la suite (vn ) est minorée par u0 et comme elle est décroissante, elle converge, d’après le le théorème 17.5,
vers un réel β.
• D’après ce qui précède, la suite w converge vers β − α mais on sait qu’elle tend vers 0 donc β − α = 0 et
finalement
α=β
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5. SUITES ADJACENTES
b
v0
b
v1
vn
b
v2
b
b
u0
b
u1
b
u2
b
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α=β
un
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