Accélération d`un point en mouvement circulaire uniforme

Accélération d'un point en mouvement circulaire uniforme
Un point M en mouvement circulaire uniforme se déplace sur un cercle de rayon
R à vitesse v constante.
y
R
v
y(t)
a
Sa vitesse angulaire ω est donc aussi constante.
L'angle θ = Ox,
OM peut se mettre sous la forme : θ = ω.t + ϕ
(
)
2π
avec : ω =
(cf. cours 1ère S).
T
M(t)
θ = ωt + φ
Les coordonnées du point M ont donc pour expression :

 2π

x = R.cos  .t + ϕ 

T


OM 
2
π


 y = R.sin
 .t + ϕ 

 T

O
x(t) R
et le vecteur vitesse est obtenu par dérivation :

2π
 2π

v = dx / dt = −R .sin  .t + ϕ 
dOM  x
T
T


v=

dt 
2π
 2π

v = dy / dt = R .cos  .t + ϕ 
 y
T
 T

d'où le vecteur accélération :

4π2
 2π

a x = dv x / dt = − R 2 .cos  .t + ϕ 
dv 
T
T


a=

dt 
4π2
2
π


a = dv y / dt = −R 2 .sin  .t + ϕ 
 y
T
 T

Remarque : a est radial et centripète
et sa norme vaut :
2
 4π2  
4π 2
 2π

 2π

a = a x 2 + a y 2 = R 2  2   cos 2  .t + ϕ  + sin 2  .t + ϕ   = R 2
T
 T

 T

 T  
=1
Pendant la durée T, le point M parcourt le périmètre du cercle :
2πR
d'où v =
distance 2πR
=
durée
T
En remplaçant dans :
4π2
v2
v2
a = R 2 = R4π 2 2 2 =
T
4π R
R
L'accélération du point M en mouvement circulaire uniforme a pour expression : a =
v2
R
soit T =
2πR
v
x