Calcul de Volume

CalculdeVolume
Calcul du volume d’un cône
r
z
Soit un cône de révolution d’axe z ; on appelle S(z) l’aire
d’une surface délimitée par l’intersection du solide et du
plan d’altitude z.
Le volume V du solide délimité par les plans z=0 et z=h est
défini par :
h
V = ∫ S(z).dz
0
On a tan α =
r R
=
z h
et
S(z) = π.r 2 avec
r=
z.R
h
Le volume V s’écrit alors :
h
h
0
0
z2R 2
πR 2
.
dz
=
h2
h2
V = ∫ π.r 2 .dz = π ∫
h
∫
z 2dz =
0
[ ]
πR 2 3
z
3h 2
=
0
πR 2 h 3
3h 2
πR 2 h
3
V=
Finalement le volume du cône vaut :
h
Calcul du volume d’une sphère
On appelle S(z) l’aire d’une surface délimitée par
l’intersection du solide et du plan d’altitude z.
Le volume V du solide délimité par les plans z=-R et z=R
est défini par :
R
V=
∫
avec z2 + r2 = R2
S(z).dz
−R
(
De même que précédemment on a : S(z) = π.r 2 = π R 2 − z 2
V=
R
∫
S(z).dz =
−R
R
∫
π(R − z ).dz = πR
2
−R
V == πR 2 [z ] −
R
−R
R
2
∫
−R
[ ]
π 3
z
3
2
R
dz − π ∫ z 2 .dz
−R
π
2πR 3 6πR 3 2πR 3
= πR 2 .2R − .2R 3 = 2πR 3 −
=
−
3
3
3
3
−R
R
Finalement le volume de la sphère vaut :
V=
4πR 3
3
)