Mécanique de la rupture - mms2

Mécanique de la rupture
I
I
I
Etude des fissures macroscopiques, id est dont la géométrie doit
être explicitement prise en compte dans la structure.
Typiquement, 1mm.
Observations
Si la longueur de fissure augmente, la résistance de la pièce
diminue
Propagation/arrêt de fissure
Rupture ductile vs rupture fragile, température de transition,
résilience
Plan : Mécanique linéaire de la rupture
I
I
I
I
I
Taux de restitution d’énergie
Etude des champs de contrainte et déformation
Facteur d’intensité de contrainte
Fissures en tridimensionnel
Propagation en fatigue
Quelques dates
I
I
I
I
I
I
I
1920, Griffith rupture d’un milieu élastique-fragile, bilan
énergétique
1956, Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de
fissure
1968, intégrale de Rice-Cherepanov
années 70, développement des méthodes numériques, éléments
finis
années 70, fissuration en fatigue, chargements complexes
années 80, aspects 3D
approche locale de la fissuration
Taux de restitution d’énergie
«La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de
surface A est égale à la variation de l’énergie potentielle totale V,
appelée taux de restitution d’énergie» (unité : joule/ m2 ) :
G=−
−propagation si :
−arrêt si :
∂V
∂A
G − 2 γs ≥ 0
0 ≥ G − 2 γs
avec γ s énergie spécifique de rupture par unité de surface
Evaluation du taux de restitution d’énergie
Forces de volume négligées, quasi-statique, solide de volume V ,
force Fd imposée sur SF ) :
Z
Z
1
V=
σ
:
ε
dV
−
F d . u dS
2 V∼ ∼
SF
Et (théorème de la divergence) :
1
2
Z
V
σ
:∼
ε dV =
∼
1
2
V=
G=
1
2
Z
F . u dS =
S
1
2
R
SF
Z
1
2
Z
F d . u dS +
SF
1
2
Z
∂u
F d . ∂A
dS −
1
2
Su
F . u d dS −
1
2
Z
F . u d dS
Su
F d . u dS
SF
R
∂F
Su ∂A
. u d dS
Cas d’une charge ponctuelle, signification physique
Avec R , raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et U le
déplacement : F = R U ; U = C F , avancée à déplacement imposé
ou à force imposée :
F
F
M
F
U
0
H
0
a. Force imposée
U
Ud
b. Déplacement imposé
Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure
Cas d’une charge ponctuelle, expression de G
I
à déplacement imposé, comme F = R U d :
Z
1
∂F
G=−
. u d dS
2 Su ∂A
1 dR d
1 F2 dR
=−
U
.U d = −
2 dA
2 R2 d A
I
à force imposée, comme U = C F d :
Z
∂u
1
G =
F .
dS
2 SF
∂A
1
dC
= Fd.
Fd
2
dA
G=
1 2 dC
F
2 dA
Quelques valeurs critiques de G
matériau
verre, céramiques
résines fragiles
composites verre–résine
alliages d’aluminium
aciers > Ttrans
métaux purs
valeur (J/m2 )
10
100–500
7000
20000
100000
105 à 106
Essai Charpy : le montage
Charpy
le professeur X/EMP
le film
Essais Charpy sur l’acier du Titanic
Acier du Titanic
Acier A36 actuel
Autres éprouvettes
Solution de Muskhelishvili
A’
− Si
x1 ≥ a
− Si
0 ≤ x1 ≤ a
A
Plaque infinie en traction selon x2 contenant une fissure de longueur 2a Solution
exacte sur l’axe x1
1/2
σ22 = σ∞ / 1 − (a/x1 )2
σ11
= σ22 − σ∞
!
σ 1−ν
∞
ε22 =
ν+
1/2
E
(1 − (a/x1 )2 )
1/2
4 a σ∞
[u2 ] = 2u2 =
1 − (x1 /a)2
E
Solution asymptotique de Westergaard
x2
Singularité en r 1/2 lorsque r
tend vers 0 (on pose
x1 = a + r ) :
M
r
θ
x1
σ22 ∝ σ∞ (a/2r )1/2
A (a,0)
Fissure linéaire chargée perpendiculairement à son axe : mode I
Facteur d’intensité de contrainte en mode I, KI :
√
KI = lim σ22 2 π r
r →0
Les 3 modes de sollicitation
Mode I
charge normale
perpendiculaire
au front
Mode II
cisaillement
perpendiculaire
au front
Mode III
cisaillement
parallèle
au front
Mode I
KI
θ
θ
3θ
σ11 = √
cos (1−sin sin )
2
2
2
2πr
θ
θ
3θ
KI
cos (1+sin sin )
σ22 = √
2
2
2
2πr
KI
θ
3θ
θ
σ12 = √
cos sin sin
2
2
2
2πr
r
KI
r
θ
θ
u1 =
cos (κ−1+2 sin2 )
2µ 2π
2
2
r
r
θ
KI
θ
u2 =
cos (κ+1+2 cos2 )
2µ 2π
2
2
avec : κ = 3−4ν en déformations planes
et : κ =
3−ν
en contraintes planes
1−ν
Calculs par éléments finis d’une plaque en traction
x2
σ 22
I
x1
I
I
Fissure de 2×4mm dans
une plaque 40mm×40mm.
σ22 = 100 MPa
Par raison de symétrie, on
calcule 1/4 de plaque
Calculs en contrainte plane
et en déformation plane
Champs de contrainte (von Mises) dans une plaque
en traction
Déformation plane
Contrainte plane
Ouverture de fissure dans une plaque en traction
0.012
U1, EF
U2, EF
U2, Mushkelishvili
0.01
U (mm)
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x (mm)
2.5
3
3.5
4
Contrainte devant la fissure dans une plaque en
traction
1800
sig22
sig11
sig22, Mushkelishvili
sig11, Mushkelishvili
Westergaard, sig22
1600
1400
stress (MPa)
1200
1000
800
600
400
200
0
-200
2
4
6
8
10
12
x (mm)
14
16
18
20
Contrainte devant la fissure dans une plaque en
traction
10000
stress (MPa)
sig22, EF
sig11, EF
sig22, Mushkelishvili
sig11, Mushkelishvili
Westergaard, sig22
1000
100
4
4.1
4.2
4.3
x (mm)
4.4
4.5
Mode II
KII
θ
θ
3θ
σ11 = − √
sin (2+cos cos )
2
2
2
2πr
θ
3θ
KII
θ
σ22 = √
sin cos cos
2
2
2
2πr
KII
θ
θ
3θ
σ12 = √
cos (1−sin sin )
2
2
2
2πr
r
θ
KII
r
θ
u1 =
sin (κ+1+2 cos2 )
2µ 2π
2
2
r
KII
r
θ
θ
u2 = −
cos (κ−1−2 sin2 )
2µ 2π
2
2
Mode III
KIII
θ
σ13 = − √
sin
2
2πr
KIII
θ
σ23 = √
cos
2
2πr
r
2KII
r
θ
sin
u3 = −
µ
2π
2
Remarques
I
√
L’unité de K est le N.m−3/2 . On utilise couramment le MPa. m.
I
L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de
fissure :
Z
Z
1
1
1 1
√ √ r dr dθ
We =
σ
:∼
ε dV ∝
∼
2 V
2 V r r
I
En comparant la solution précédente en θ = 0 et la solution de
Muskhelishvili lorsque r tend vers 0
Westergaard : σ22 ∝ √
KI
2πr
r
;
Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞
√
KI = σ∞ π a
a
2r
Remarques (suite)
I
Ne pas confondre KI avec Kt , facteur de concentration de
contrainte, sans dimension, Au voisinage d’un défaut elliptique
de longueur 2a et de rayon de courbure ρ :
p
Kt = σ22max /σ∞ = 2 a/ρ
-
I
Matériaux anisotropes :
Kij = lim σij
√
r →0
(couplage possible entre les modes)
2πr
Exemple
Relation entre K et G en mode I
x2
0’
0
a
I
I
x1
Travail nécessaire pour refermer une fissure de longueur
a + ∆a
∆a
La densité d’effort sur le segment OO 0 passe de 0 (fissure en O 0 )
à σ22 (fissure est en O) pendant que l’ouverture passe de u2 à 0
il vient
G = KI 2 (k + 1) /8 µ
en déf.plane : k = 3 − 4ν
en contr.plane : k =
3−ν
1−ν
Relation entre K et G
I
Mode I
Contraintes planes :
G = (1 − ν 2 )KI 2 /E
Déformations planes :
I
G = KI 2 /E
Plusieurs modes
Contraintes planes :
Déformations planes :
G=
G=
1
1+ν
(KI 2 + KII 2 ) +
KIII 2
E
E
1 − ν2
1+ν
(KI 2 + KII 2 ) +
KIII 2
E
E
Etat de contrainte tridimensionnel
x2
x3
x1
Structures épaisses
0 < σ11 < σ33 < σ22 .
Glissement dans x1 − x2
Structures minces
0 < σ33 ≈ 0 < σ11 < σ22
glissement dans x2 − x3 ,
Propagation de fissure en fatigue
da/dN
(mm/cycle)
1
10 -3
Fissures
"courtes"
Fissures
"longues"
10 -6
10 -9
Pas de
propagation
10 -3 1
a (mm)
Diagramme de Kitagawa
σ
σu
σl
−1/2
K=K
Ic
a
∆ K= ∆K s
Loi de Paris
da/dN
(mm/cycle)
1
10 -3
10 -6
10 -9
∆ KS
da
= C. ∆K m
dN
K 1C
∆K
Valeur critique et valeur seuil du facteur d’intensité de
contrainte
Matériau
acier haute résistance (ex : 35NCD16)
acier moyenne.résistance (ex : 15MND6) . . .
. . .(basse température)
. . .(palier ductile)
alliages d’aluminium (ex : 7075)
alliages de titane (ex : TA6V)
composite verre-résine
polyéthylène
polystyrène
résine époxyde
verre
KIc√
MPa m
60
∆ K√s
MPa m
1à4
40
200
30
80
7
6,5
0,4
0,1
0,01
3
8
1,5 à 4
2à8