Minimum vital en Math – Portail SI – rentrée 2012

Faculté des Sciences & Techniques de Limoges
Portails MASS et SI- Premier Semestre
2012-2013
Mathématiques
Minimum vital pour des études scientifiques à l’université
La lecture active de ce document fait partie du travail personnel qui vous est demandé au
semestre 1 de la première année de Licence et a pour objectif de vous aider à mieux suivre
l’enseignement des matières scientiques des premières années de la Licence.
Vous devez considérer ce document comme un lien avec vos enseignants : n’hésitez pas à venir
nous questionner si vous avez besoin d’éclaircissements.
Attention ! Les connaissances rappelées ici sont exigibles sans aide-mémoire dès les
premiers contrôles en particulier lors du test de rentrée (pour les SI).
0
1
Ensembles
Vous avez déjà manipulé des ensembles, par exemple des ensembles d’événements en probabilités, ou des ensembles de nombres dont nous reparlerons plus loin.
Nous allons dans ce chapitre faire le point de vos connaissances sur ce sujet et en profiter pour
rappeler les principes de base du raisonnement mathématique.
Vous devez étudier minutieusement ce chapitre (qui n’est pas aussi trivial qu’il peut le paraı̂tre à
première vue) et ne pas hésiter à vous y reporter tout au long de l’année, car la parfaite maı̂trise
des notions qui y sont contenues est une des conditions de votre réussite en mathématiques à
l’université.
Définir un ensemble
Un ensemble est constitué d’éléments (sauf l’ensemble vide, noté ∅). Si a est un élément de
l’ensemble A, on dit que a appartient à A et on note a ∈ A ; sinon, on note a 6∈ A et on dit que
a n’appartient pas à A.
On peut définir un ensemble en donnant explicitement tous ses éléments et on dit alors que
l’ensemble est défini en extension (par exemple A = {0, 1, 2, 3, 4}).
On peut aussi définir un ensemble en donnant une caractérisation (une propriété caractéristique)
de ses éléments (par exemple A = {x ∈ N / x < 5} où le symbole / se lit tel que ) ; on
dit alors que l’ensemble est défini en compréhension.
Enfin, on peut définir un ensemble en faisant des opérations sur d’autres ensembles. Nous
verrons cela au paragraphe 1.
Comparer des ensembles
Inclusion
Definition 1.1 On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tout élément de A
appartient à B. On note A ⊂ B.
On dit alors que A est une partie (ou sous-ensemble) de B. On note P(B) l’ensemble des
parties de B.
On peut s’aider dans certains raisonnements en illustrant cette notion par un graphique, par
exemple en utilisant des diagrammes de Venn, des représentations d’intervalles sur la droite,
etc, . . .
Exemples
1. Soit les ensembles A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} et C = ∅. On a : A ⊂ A, B ⊂ B, C ⊂ C et
C ⊂ A,
C ⊂ B,
A ⊂ B,
P(B) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, B}.
En plus de l’ensemble vide et de B lui-même, l’ensemble P(B) contient donc 3 singletons
et 3 pairs. Il a en tout 8=23 éléments, soit 2 élevé à la puissance cardinal de B.
2. Représentation des ensembles N, Z, D, Q, R et C sur un même diagramme de Venn.
1
Égalité
Definition 1.2 On dit qu’un ensemble A est égal à un ensemble B si on a à la fois A ⊂ B et
B ⊂ A. On note alors A = B.
Cette définition est très importante, car elle est à la base du raisonnement le plus souvent utilisé
pour montrer que deux ensembles sont égaux. On dit qu’on procède par double-inclusion.
Exemple
Soit les deux ensembles
A = {a ∈ N / a multiple de 4 et de 6} et
B = {b ∈ N / b multiple de 12}.
Montrer que A = B.
Rappelons la définition : un entier m est un multiple d’un entier a s’il existe un entier b tel que
m = ab.
Cela nous permet de dire, en procédant par double-inclusion :
Soit x ∈ B : par définition, il existe λ ∈ N tel que x = 12 · λ. Mais alors, on peut aussi écrire
x = 4 · (3λ) et x = 6 · (2λ), ce qui met en évidence le fait que x est aussi un multiple de 4
et de 6, donc x ∈ A. D’où B ⊂ A.
Soit x ∈ A : par définition, il existe µ ∈ N et il existe ν ∈ N tels que x = 4 · µ et x = 6 · ν. On
en déduit l’égalité 4 · µ = 6 · ν, et donc aussi 2 · µ = 3 · ν. Cela prouve que ν doit être un
entier pair ; par conséquent il existe un entier ν 0 tel que x = 6 · (2ν 0 ), soit x = 12 · ν 0 , donc
x ∈ B. D’où A ⊂ B.
On a prouvé B ⊂ A, puis A ⊂ B, d’où A = B.
Opérations sur les ensembles
Intersection, réunion
Definition 1.3 Soit A et B deux sous-ensembles de E. On appelle intersection de A et B et
on note A ∩ B (lu A inter B) le sous-ensemble de E défini comme suit :
A ∩ B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B}.
L’intersection de A et B est donc l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B.
Deux parties dont l’intersection est vide sont dites disjointes.
Definition 1.4 Soit A et B deux parties de E. On appelle réunion de A et B et on note A ∪ B
(lu A union B) la partie de E définie comme suit :
A ∪ B = {x ∈ E / x ∈ A ou x ∈ B}.
La réunion de A et B est donc l’ensemble des éléments qui sont soit dans A soit dans B.
Remarque
Pour tous sous-ensembles A, B et C d’un ensemble E, les relations suivantes (qui découlent
immédiatement des définitions) sont vraies :
Si
A ∪ B = ∅ alors
2
(A = ∅ et B = ∅),
A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C et A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∩ ∅ = ∅,
A ∪ ∅ = A,
A ∩ E = A,
A ∪ E = E.
Passage au complémentaire
Definition 1.5 Soit A et B deux parties de E telles que A ⊂ B. On appelle complémentaire
de A dans B et on note B \ A la partie de E définie comme suit :
B \ A = {x ∈ E / x ∈ B et x 6∈ A}.
Les relations suivantes découlent immédiatement de la définition :
A \ A = ∅,
A \ ∅ = A,
ainsi que, si on suppose toujours A ⊂ B :
A ∪ (B \ A) = B
et
A ∩ (B \ A) = ∅.
Produit cartésien de deux ensembles
En probabilités, on s’intéresse souvent au lancer simultané de deux dés. Les événements observés
sont alors des couples tels (1,3) ou (2,4) d’éléments pris dans {1,2,3,4,5,6}. En fait, l’ensemble
des 36 couples possibles (pourquoi ?) est le produit cartésien de l’ensemble {1,2,3,4,5,6} par
lui-même (on parle alors de carré cartésien). Plus généralement :
Definition 1.6 Soit E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E par F , noté
E × F , l’ensemble des couples (a, b) tels que a ∈ E et b ∈ F .
Exemple
Soit A = {1, 2}. Les éléments de A × A sont (1, 1), (1, 2), (2, 1) et (2, 2).
Remarque
Si E = F , alors E × F se note aussi E 2 , et l’ensemble des couples (a, a) tels que a ∈ E est la
diagonale de E 2 .
Il ne faut pas confondre les notations (a, b) et {a, b}. En particulier, la notation “(a, b) = (x, y)”
signifie “a = x et b = y”, alors que la notation “{a, b} = {x, y}”, on peut avoir aussi “a = y et
b = x”.
Exercice
Donner une interprétation géométrique de R2 et de sa diagonale.
Peut-on représenter géométriquement R3 ? R4 ?
3
2
Dérivation, primitives, logarithme et exponentiation
Dérivation
Dans la suite U et V désignent des fonctions dérivables.
Fonctions
ax , a ∈ R et m ∈ Q∗
(U + V )´
(U · V )´
(U/V )´
m
U , m ∈ Q∗
sin(U )
cos(U )
ln(U )
exp(U )
m
Fonctions derivées
amxm−1
U´+ V´
U´· V + V´· U
(U´· V − V´· U )/(V 2 )
mU´U m−1
U´cos(U )
−U´sin(U )
U´/U
U´exp(U )
Quelques primitives
Dans ce tableau f est une fonction et F est sa primitive sur l’intervalle I indiqué.
f (x)
F (x)
I
xm , m ∈ N
xm+1
+C
m+1
] − ∞, +∞[
xm , −m ∈ N∗ , m 6= −1
sin x
cos x
1
cos2 x
= 1 + tan2 x
xm+1
+C
m+1
− cos x + C
sin x + C
tan x + C
]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
h
i π
π
− + kπ, + kπ , k ∈ Z
2
2
Le tableau de dérivation ci-dessus donne la forme de certaines primitives. Par exemple, si une
fonction f est de la forme U 0 cos U alors une primitive de f (sur un intervalle où U est définie)
est, en lisant la 6e ligne du tableau, sin U + C où C est un nombre réel constant.
Logarithme népérien, exponentiation
On a
- pour tout nombre réel x : ln ex = x,
- pour tout nombre réel x strictement positif : eln x = x,
- par définition, pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel x : ax = ex ln a ,
- pour tout nombre réel a strictement positif et pour tous nombres réels x et y : ax+y = ax · ay ,
- pour tout nombre réel a strictement positif et pour tous nombres réels x et y : axy = (ax )y ,
- pour tous nombres réels a et b strictement positifs : ln xy = ln x + ln y.
4
3
Formulaire de trigonométrie
Dans ce formulaire a, b, x, p, q désignent des nombres réels quelconques. Bien évidemment les
formules données ci-dessous ne sont pas vraies pour tous les arguments. Rappelons, par exemple,
que la fonction tan n’est définie que sur l’ensemble des nombres réels différents de ±π/2 modulo
2π.
En plus (et avant) d’étudier ce formulaire, il est recommandé de connaı̂tre et de
tracer le cercle trigonométrique. Il est conseillé de dresser un tableau de valeurs
des fonctions sinus et cosinus pour les angles usuels : 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π.
Angles associés

 cos(−x)
sin(−x)

tan(−x)



=
cos x.
= − sin x.
= − tan x.

cos(π + x) = − cos x.
 cos(π − x) = − cos x.
sin(π − x) =
sin x.
sin(π + x) = − sin x.

tan(π
−
x)
=
−
tan x.
tan(π + x) =
tan x.
cos(π/2 + x) = − sin x.
cos(π/2 − x) = sin x.
sin(π/2 + x) =
cos x.
sin(π/2 − x) = cos x.
Formules fondamentales
cos2 x + sin2 x = 1, 1 + tan2 x =
1
1
, cos2 x =
·
cos2 x
1 + tan2 x
Formules d’addition et de duplication
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a.
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a, sin 2a = 2 sin a cos a.
Transformation de sommes en produits
cos p + cos q
=
cos p − cos q
=
sin p + sin q
=
sin p − sin q
=
p−q
p+q
cos
·
2
2
p+q
p−q
−2 sin
sin
·
2
2
p+q
p−q
2 sin
cos
·
2
2
p+q
p−q
2 sin
cos
·
2
2
2 cos
5
4
Rappels sur les vecteurs dans l’espace
La figure ci-dessous montre plusieurs segments orientés (flèches) : ils ont même sens, même direction et les segments correspondants ont même longueur. Ces segments sont tous des représentations
équivalentes d’un seul objet mathématique, appelé vecteur.
>
>
>
>
>
Notation
Dans la suite de ce document l’ensemble des vecteurs de l’espace est noté V.
Remarques
1. Pour représenter un vecteur, nous emploierons une lettre surmontée d’une flèche ou deux
lettres accolées surmontées d’une flèche. Par exemple, le vecteur de la figure ci-dessus sera noté
→
−
→
−
v . Si le point A est une origine d’un vecteur v et B l’extrémité correspondante on écrit
→
−
−−→
→
−
−−→
v = AB . Ici, sur la figure, v sera aussi noté OP .
→
−
−→
→
−
2. On posera, pour tout point A dans l’espace, 0 = AA . Le vecteur 0 est appelé le vecteur nul.
3. Si on se fixe une origine O dans l’espace, on pourra identifier l’ensemble V à l’ensemble des
→
−
→
−
−−→
points de l’espace en associant au vecteur V l’unique point M tel que V = OM .
4. En physique, certaines quantités sont caractérisées par leur grandeur, leur direction et leur
sens comme, par exemple, force, déplacement, vitesse et accélération. C’est, en particulier, pour
décrire ces quantités que la notion de vecteur est introduite.
Opérations sur les vecteurs
Addition des vecteurs
L’addition de vecteurs utilise la règle du parallélogramme employée en mécanique pour
décrire la composition des forces.
−
→
−
→
−
→
−
→
Définition 4.1 Soient V1 et V2 deux vecteurs du plan. Le vecteur somme de V1 et V2 est le
−
→ −
→ −
→
vecteur V3 = V1 + V2 obtenu par la construction utilisant la règle du parallélogramme et qui est
illustrée par la figure ci-dessus où :
−−→ −
→ −−→ −
→ −→ −
→
AB = V2 , BC = V1 , AC = V3
6
!
"#!
%!
"(!
'!
"$!
&!
Remarquer que, pour trois points quelconques A, B et C de l’espace, on a la relation de
Chasles :
−−→ −−→ −→
AB + BC = AC.
(1)
Propriétés
L’addition vectorielle ainsi définie possède des propriétés (analogues à l’addition des nombres) :
−
→ −
→
−
→
– associativité : quels que soient les vecteurs V1 , V2 et V3 ,
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→
V1 + V2 + V3 = V1 + V2 + V3 ,
(2)
−
→
−
→
– commutativité : quels que soient les vecteurs V1 et V2 ,
−
→ −
→ −
→ −
→
V1 + V2 = V2 + V1 ,
(3)
→
−
– existence d’un élément neutre : quel que soit le vecteur V ,
→
− →
→
−
−
V + 0 =V,
(4)
−−→ −−→ →
−
– existence de l’élément symétrique ou opposé : la relation AB + BA = 0 (cas particulier de
→
−
→
−
l’égalité 1) permet d’établir qu’à tout V dans V on peut associer un vecteur noté − V tel que
→
−
→
−
→
−
V + −V = 0 .
(5)
Multiplication par un nombre réel
→
−
−
→
→
−
Définition 4.2 Soit λ ∈ R et V un vecteur de longueur l. On définit le vecteur W = λ V de la
−−→
→
−
−
→ −→
manière suivante : si AB est un représentant de V , on posera W = AC où (A, C) est le bipoint
de longueur |λ| · l, parallèle à (A, B) de même sens que (A, B) si λ > 0 et de sens contraire si
−
→ →
−
λ < 0 (si λ = 0 on posera W = 0 ).
Par exemple :
−
1→
−
V
2
.
7
.
.
2
..
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
→
−
.
.
V
..
...
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
.
.
.
...
...
1→
...
−
...
V
Propriétés
On a les propriétés suivantes :
−
→
−
→
- quels que soient les vecteurs V1 et V2 et le nombre réel λ,
−
→ −
→
−
→
−
→
λ V1 + V2 = λV1 + λV2 ,
→
−
- quels que soient le vecteur V et les nombres réels λ et µ,
→
−
→
−
→
−
(λ + µ) V = λ V + µ V ,
→
−
→
−
(λµ) V = λ µ V ,
→
−
→
−
1V = V .
(6)
(7)
(8)
(9)
Notion de base dans l’espace des vecteurs
→
−
Soit O, I, J, K quatre points non coplanaires dans l’espace. Tout vecteur V dans V s’écrit de
manière unique :
→
−
−→
−→
−−→
V = xOI + y OJ + z OK.
−
→
−→
−→
−−→ −
→
−→
−→
−−→
Soit dans V : V1 = x1 OI + y1 OJ + z1 OK et V2 = x2 OI + y2 OJ + z2 OK. Soit λ ∈ R. Les règles
de calcul dans V permettent d’écrire :
−
→ −
→
−→
−→
−−→
V1 + V2 = (x1 + x2 )OI + (y1 + y2 )OJ + (z1 + z2 )OK,
→
−
−→
−→
−−→
λ V = (λx)OI + (λy)OJ + (λz)OK.
−
→
−
→
− →
− →
Plus généralement, soit trois vecteurs i , j , k tels que : tout vecteur V dans V s’écrit de
manière unique sous la forme d’une combinaison linéaire
→
−
→
−
→
−
→
−
V =x i +y j +zk.
−
→
− →
− →
On dit alors que la famille de vecteurs ( i , j , k ) est une base de V.
Vous verrez plus tard que l’espace V possède une infinité de bases qui sont constituées du même
nombre d’éléments, appelé la dimension de l’espace vectoriel. Ainsi V est un espace vectoriel de
dimension 3 sur R.
−
→
− →
− →
On dit que (O, I, J, K) est un repère de l’espace. Si, ( i , j , k ) est une base de V, on a :
−
−→ →
−→ →
−−→
→
−
−
i = OI, j = OJ, k = OK.
−
→
− →
− →
On dit aussi que (O, i , j , k ) est un repère de l’espace.
Dans l’écriture
→
−
→
−
−−→
→
−
→
−
V = OM = x i + y j + z k ,
−
→
− →
− →
les nombres x, y, z sont appelés les coordonnées du point M relatives au repère (O, i , j , k )
−
→
−
→
− →
− →
de l’espace ou les composantes du vecteur V relatives à la base ( i , j , k ) de l’espace vectoriel
V.
S’il n’y a pas d’ambiguı̈té sur le repère choisi, on simplifie l’écriture ci-dessus (4) en écrivant :
→
−
V (x, y, z),
et
M (x, y, z).
Remarque
−
−
−
En sciences physiques, un repère cartésien sera souvent noté R(O, →
ex , →
ey , →
ez ).
8
Norme d’un vecteur, produit scalaire de vecteurs
À partir de maintenant, nous supposerons qu’une unité de longueur a été choisie.
Avant de définir le produit scalaire de deux vecteurs, rappelons la définition de la mesure
algébrique d’un vecteur.
→
−
→
−
Soit i un vecteur de l’espace. Soit D une droite de vecteur directeur i et soient A et B deux
→
−
−−→
points de D. Il existe donc un nombre réel k tel que AB = k i . Ce nombre réel est appelé
→
−
−−→
mesure algébrique de AB (relativement à i ).
Nous allons maintenant définir le produit scalaire de deux vecteurs.
→
−
→
−
Soit O un point fixé de l’espace. Soient U et V deux vecteurs non nuls. Soient les points A et
→
−
→
−
−→
−−→
B tels que : U = OA et V = OB. Soit C le projeté orthogonal de A sur la droite (OB) et
−−→
−−→
désignons par OC et OB les mesures algébriques des vecteurs OC et OB (relativement à un
vecteur directeur de la droite (OB)).
→
−
→
−
→
− →
−
Définition 4.3 Le produit scalaire de U et V est le nombre donné par : U · V = OC · OB.
→
−
Définition 4.4 (norme d’un vecteur) Soit v un vecteur de l’espace. On appelle norme de
→
−
→
−
v et on note || v ||, la longueur de n’importe lequel des segments orientés qui le représentent.
Remarque
→
−
Le seul vecteur de longueur 0 est le vecteur nul ( O ).
Désignons par θ l’angle défini par les demi-droites OA et OB et appartenant à l’intervalle [0, 2π[.
On a alors la caractérisation suivante du produit scalaire.
Proposition
→
−
→
−
Le produit scalaire de U et V est le nombre donné par : ||U || · ||V || · cos θ
Remarques
1. Le nombre θ défini ci-dessus est indépendant des représentants choisis.
2. On conviendra que le produit scalaire est nul si l’un des vecteurs est nul.
Rappel
→
−
Le produit scalaire est utilisé en mécanique pour évaluer le travail d’une force constante F
dont le point d’application se déplace, sur une droite, de A en A0 : le travail est donné par
→
− −−→0
F · AA .
Propriétés du produit scalaire
On a les propriétés suivantes :
−
→ −
→ −
→
quels que soient les vecteurs V1 , V2 , V3 et le nombre réel λ,
−
→ −
→
−
→ −
→
a) V1 · V2 = V2 · V1 ,
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
→
b ) V1 · (V2 + V3 ) = V1 · V2 + V1 · V3 ,
9
(10)
(11)
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→
c ) λ V1 · V2 = λV1 · V2 = V1 · λV2 .
(12)
−
→
−
→
Définition 4.5 Soient V1 et V2 deux vecteurs dans V. On dit qu’ils sont orthogonaux lorsque
leur produit scalaire est nul.
→
−
On remarquera aussi que 0 est orthogonal à tout vecteur de V.
−
−
→
− →
− →
→
− →
− →
Définition 4.6 Soit ( i , j , k ) une base de V. On dira que ( i , j , k ) est orthonormée si
les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et ont tous une norme égale à 1 ; le repère associé
−
→
− →
− →
(O, i , j , k ) de l’espace est alors aussi appelé orthonormé.
−
→
− →
− →
Soit ( i , j , k ) une base de V. Dire qu’elle est orthonormée c’est dire que
−
−
→
−
→
− →
−
→
− →
→
− →
→
−
→
−
i · j = i · k = j · k = 0,
|| i || = || j || = || k || = 1.
(13)
Remarque fondamentale
−
→
−
→
− →
− →
Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormé. Soit un vecteur V de V.
→
−
1. La décomposition de V s’obtient facilement en utilisant le produit scalaire :
→
−
−
→
−
→
− →
→
− →
→
− →
→
−
→
−
−
−
si V = x i + y j + z k alors x = V · i , y = V · j , et z = V · k .
−
→
→
−
→
−
→
−
2. Soit V 0 = x0 i + y 0 j + z 0 k un autre vecteur de V. On a alors :
→
→
− −
→
−
V · V 0 = xx0 + yy 0 + zz 0 et || V ||2 = x2 + y 2 + z 2 .
(14)
(15)
Application 1 : (Équation cartésienne d’une droite D ; équation cartésienne d’un
cercle C)
Tout ce qui a été précédemment écrit est également valable pour les vecteurs du plan c’est-à-dire
→
− →
−
à des vecteurs à deux composantes dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, i , j ). La
droite d’équation ax + by + c = 0 est de vecteur directeur (−b, a). Déterminer une perpendiculaire.
Soit C cercle de centre C(a, b) et de rayon r et soit M (x, y) un point du cercle. Notons A le poinet de coordonnées (x, 0). Sachant que le triangle CM A est rectangle en A, retrouver l’equation
cartésienne du cercle C.
Application 2 : (Équation cartésienne d’un plan P passant par un point M0 et
→
−
perpendiculaire à une droite de vecteur directeur V )
−
→
−
→
−
→
− →
− →
→
−
→
−
Choisissons un repère orthonormé (O, i , j , k ), posons V = α i + β j + γ k et désignons
par (x0 , y0 , z0 ) les coordonnées de M0 . Le point M de coordonnées (x, y, z) appartient à P si et
−−−→ →
−
seulement si : M0 M · V = 0, ce qui donne l’équation de P :
α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0.
→
−
Rappelons que le vecteur V est dit vecteur normal à P.
(16)
Application 3 : (Équation d’une sphère)
−
→
− →
− →
Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormé. Soit R un nombre réel strictement positif. Soit le
point A de coordonnées (xA , yA , zA ). Montrer que l’équation de la sphère de centre A et de rayon
R est donnée par :
(x − xA )2 + (y − yA )2 + (z − zA )2 = R2 .
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