Lycée Chrestien de Troyes - 2016/2017 - PCSI

TD 1
Méthodes de calcul en analyse
Exercice 1 Inéquation
Résoudre l’inéquation, d’inconnue x ∈ R, |x + 1| < 4 (écrire l’ensemble des solutions comme un intervalle).
Exercice 2 Domaines
Déterminer les domaines de définition des fonctions f et g données par les expressions :
r
2x + 3
2. g(x) = ln(4x + 3).
1. f (x) =
;
5 − 2x
Exercice 3 Domaines de composées
On pose, lorsque c’est possible, f (x) =
√
x + 3 et g(x) =
tions g ◦ f et de f ◦ g.
1
. Calculer les ensembles de définition des foncx−2
Exercice 4 Inégalités classiques
Soit a, b ∈ R+,∗ . Montrer l’inégalité
En déduire que
√
a+b
.
ab ≤
2
a+b
1
(ln a + ln b) ≤ ln
.
2
2
Exercice 5 Limites
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites des fonctions suivantes aux points précisés :
√
√
x+2
1+x− 1−x
4. f4 (x) = 2
en 0+ ;
1. f1 (x) =
en 0 ;
x ln x
x
x + 2|x|
ex − e2 x
2. f2 (x) =
en 0+ , en 0− et en +∞ ;
5.
f
(x)
=
en +∞ ;
5
x
x2 − x
x
en 0 ;
3. f3 (x) =
6. f6 (x) = xsin x en 0+ .
2 + sin 1x
Exercice 6 Dérivation
Calculer, en précisant pour quels réels x c’est possible, les dérivées des fonctions suivantes :
ln(1 + x)
;
r x
2−x
;
2. f2 (x) =
4+x
p
3. f3 (x) = x2 + 6x − 1 ;
1. f1 (x) =
4. f4 (x) =
1
(ex + e−x )2
;
5. f5 (x) = ln(ln x) ;
cos x
6. f6 (x) = √
.
sin x + 2
Exercice 7 Existence et unicité d’une solution
Montrer, en faisant une étude de fonction, que l’équation d’inconnue x ∈ R donnée par
x5 + x + 1 = 0
possède une unique solution.
Exercice 8 Inégalité de convexité
Montrer, à l’aide d’un tableau de variations que pour tout x ∈ ]0, +∞[,
ln x ≤ x − 1
puis interpréter géométriquement.
Exercice 9 Dérivée d’une réciproque
On pose, pour tout x ∈ R, g(x) = ex + e−x .
1. Montrer que pour tout x ∈ R : g(x)2 − g0 (x)2 = 4.
2. Montrer que g est une bijection de R+ sur [2, +∞[ et donner l’expression de la dérivée de sa fonction
réciproque (on simplifiera le résultat en utilisant la première question).
Exercice 10 Image d’une fonction
Calculer les images des fonctions h1 , h2 , h3 définies pour tout x ∈ R par :
1. h1 (x) = x3 + x2 + 2x + 1 ;
2. h2 (x) = cos x sin x ;
2
3. h3 (x) = e−x .
Exercice 11 Fonctions bornées
Montrer que
1. f : x 7→
1
est bornée sur R ;
1 + x2
2. g : x 7→ e−x sin x est bornée sur R+ .
Exercice 12 (difficile)
Soit f une fonction
de [0, 1] dans [0, 1] continue sur [0, 1] telle que f (0) = f (1). Montrer qu’il existe x ∈ [0, 1]
1
tel que f x + 2 = f (x).
Exercice 13 (difficile)
Déterminer toutes les fonctions de R+,∗ dans R dérivables sur R+,∗ vérifiant, pour tous x, y ∈ R+,∗ :
f (xy) = f (x) + f (y).
Exercice 14 (difficile)
Soit f une fonction de R+ dans R+ dérivable vérifiant f (0) = 0 et pour tout x ∈ R+ , f 0 (x) ≤ f (x). Montrer
que f est la fonction nulle.