Théorème de Thalès
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Théorème de Thalès
Théorème de Thalès Théorème Les mesures des côtés de deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux demidroites de même origine sont proportionnelles. Mesures du triangle AMN AM AN MN Mesures du triangle ABC AB AC BC Ce tableau est un tableau de proportionnalité Autrement dit : Si, dans un triangle ABC, un point M appartient au segment [AB], un point N appartient au segment [AC] et si les AM AN MN droites (MN) et (BC) sont parallèles alors = = . AB AC BC Exercice RST est un triangle tel que RS = 7 cm, ST = 5 cm et RT = 6 cm. I est un point de [ST] tel que SI = 4 cm. La droite parallèle à (RT) passant par I coupe [RS] en J. Calculer SJ. On sait que, dans le triangle RST, I est un point de [ST] ; J est un point de [RS] (IJ) // (TR) SI SJ IJ = = Donc, d’après le théorème de Thalès, ST SR TR 4 SJ D’où = 5 7 4×7 SJ = 5 28 SJ = 5 SJ = 5, 6 La longueur SJ est donc égale à 5,6 cm. Exercice On suppose que (BA) // (TR). appartient à Calculer la hauteur de la tour TR. On sait que, dans le triangle ORT, A ∈ [OR] ; B ∈ [OT] ; (BA) // (TR) ; OB OA BA Donc, d’après le théorème de Thalès, = = . OT OR TR 2, 5 1, 5 D’où = 22, 5 TR 1,5 × 22, 5 TR = 2,5 33, 75 TR = 2, 5 TR = 13,5 La tour mesure donc 13,5 m. Remarque La réciproque du théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès. I est le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J. AI AJ IJ = = AB AC BC AI AI 1 De plus AB = 2 AI ; d’où = . = AB 2 AI 2 AJ 1 Ainsi = ; et donc AC = 2 AJ. AC 2 Par conséquent J est bien le milieu de [AC]. D’après le théorème de Thalès, on a :