Preuve du théorème de Thalès

Preuve du theoreme de Thales
Cette preuve se déroule en trois parties. La première partie prouvera une propriété qu’on utilisera pour
démontrer (Lemme). Ensuite, la seconde prouvera le théorème dans le cas particulier du triangle et la troisième se
servira de la seconde pour prouver le théorème au complet.
1) Lemme 1
Si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce
côté commun, alors ils ont la même aire.

Preuve :
Si 𝑑//𝐴𝐵, alors les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐵𝐶′ ont même aire puisque ℎ = ℎ1 .
Voir http://www.cspu.be/~termollem/3e/annexe/proprietes-importantes.php#propriete1
2) Démonstration du théorème de Thalès dans un triangle
 Hypothèses :
Soient un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐸 ∈ 𝐴𝐶, 𝐷 ∈ 𝐴𝐵et 𝐸𝐷//𝐶𝐵.

Thèse :
|𝐴𝐸| |𝐴𝐷|
=
|𝐸𝐶| |𝐷𝐵|
 Preuve :
1) Construisons 𝐸𝐵 et 𝐶𝐷. Etant donné que 𝐴𝐸𝐵 et 𝐸𝐶𝐵 ont la même hauteur, on en conclut que
|𝐴𝐸|. ℎ1
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐸𝐵
|𝐴𝐸|
2
=
=
|𝐸𝐶|. ℎ1
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐸𝐶𝐵
|𝐸𝐶|
2
On peut tenir un raisonnement analogue avec 𝐴𝐷𝐶 et 𝐷𝐵𝐶 pour obtenir
http://www.cspu.be/~termollem/
1
|𝐴𝐷|. ℎ2
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐷𝐶
|𝐴𝐷|
2
=
=
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷𝐵𝐶 |𝐷𝐵|. ℎ2 |𝐷𝐵|
2
2) Par le lemme 1, 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐸𝐶𝐵 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷𝐵𝐶 (car ils ont la même base et la hauteur comprise entre deux
parallèles).
3) On déduit du point b) que 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐸𝐵 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐷𝐶 puisque
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐸𝐵 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐵𝐶 – 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐸𝐶𝐵
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐷𝐶 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐵𝐶 – 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷𝐵𝐶
4) Par les points b) et c), on a
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐸𝐵 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐷𝐶
=
.
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐸𝐶𝐵 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷𝐵𝐶
Or, par le point a)
|𝐴𝐸| 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐸𝐵 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐴𝐷𝐶 |𝐴𝐷|
=
=
=
.
|𝐸𝐶| 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐸𝐶𝐵 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷𝐵𝐶 |𝐷𝐵|
Donc,
|𝐴𝐸| |𝐴𝐷|
=
.
|𝐸𝐶| |𝐷𝐵|
3) Démonstration du théorème de Thalès.
 Hypothèses :
Soient les points 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐹, 𝐺 et 𝐻 tels que 𝐹𝐴//𝐺𝐷//𝐻𝐵.

Thèse :
|𝐹𝐺| |𝐴𝐷|
=
|𝐺𝐻| |𝐷𝐵|

Démonstration:
En traçant la droite 𝐴𝐶 tel que 𝐴𝐶//𝐹𝐻 et 𝐴𝐶 ∩ 𝐺𝐷 = 𝐸, on revient dans la situation du théorème de Thalès dans
un triangle que nous avons démontré précédemment.
Dans ce cas on sait que
|𝐴𝐸| |𝐴𝐷|
=
.
|𝐸𝐶| |𝐷𝐵|
Puisque 𝐴𝐶//𝐹𝐻 et 𝐹𝐴//𝐺𝐷, |𝐴𝐸| = |𝐹𝐺| et |𝐸𝐶| = |𝐺𝐻|.
http://www.cspu.be/~termollem/
2
Donc,
|𝐹𝐺| |𝐴𝐷|
=
.
|𝐺𝐻| |𝐷𝐵|
CQFD
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