Théorème de Thalès - Collège Théophile Gautier

Année académique 2013-2014
Collège Théophile Gautier
Classe de 3e
Théorème de Thalès
1
1.1
Théorème de Thalès
Enoncé du théorème
Théorème 1.1. Soit deux droites (d) et (d0 ) sécantes en A. On a :
– B et M deux points distincts de A sur la droite (d).
– C et N deux points distincts de A sur la droite (d0 ).
Si (BC)//(M N ) alors :
AN
MN
AM
=
=
AB
AC
BC
Remarque 1.2. Un moyen pratique pour se souvenir de l’ordre dans les rapports de longueur :
• On commence toujours les rapports sur les trois points alignés avec la lettre qui correspond à l’intersection
des droites (d) et (d0 ).
• Le numérateur dans les trois rapports est toujours plus court que le dénominateur.
• Le premier rapport comporte les noms des points de la droite (d), le deuxième comporte lesn oms des
points de la droite (d0 ).
Exemple 1.3. [h]
A
N
M
C
(d)
B
(d’)
Cette configuration est celle que a été étudiée 4e. La droite (M N ) se situe dans le triangle ABC. Dans
ce cours, nous voyons qu’il existe d’autres configurations que nous avons découverts pendant l’activité en salle
informatique. On a notamment la configuration appelée "papillon" ou "croisée" dessinée ci-dessous.
1
Exemple 1.4. [h]
M
N
A
C
(d)
B
1.2
(d’)
Comment calculer une longueur ?
La figure du dessus nous indique les hypothèses suivantes :
•
•
•
•
•
(M N )//(BC)
AB = 4, 5 cm
AM = 2, 5 cm
AN = 2 cm
BC = 5 cm
ATTENTION : La figure n’est pas à l’échelle
Calcul de AC et de M N ?
Sachant que (M N )//(BC) et que les droites (BM ) et (CN ) sont sécantes en A. On peut dire d’après le
théorème de Thalès que :
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
• Calcul de AC.
Comme
AM
AN
=
, grâce au produit en croix, on obtient :
AB
AC
AM × AC = AB × AN d’où AC =
AB × AN
AM
Ainsi :
AC
AC
AC
Donc AC = 3, 6 cm.
4, 5 × 2
2, 5
9
=
2, 5
= 3, 6
=
2
• Calcul de M N .
Comme
MN
AM
=
, grâce au produit en croix, on obtient :
BC
AB
M N × AB = BC × AM d’où M N =
Ainsi :
MN
=
MN
=
MN
=
BC × AM
AB
5 × 2, 5
4, 5
12, 5
4, 5
25
' 2, 778
9
Donc M N ' 2, 778 cm.
1.3
Réciproque du théorème de Thalès
Théorème 1.5. Soit (d) et (d0 ) deux droites sécantes en A telles que A, B et M d’une part et A, C et N
d’autre part, soient distincts et alignés.
Si
AN
AM
=
alors :
AB
AC
(BC)//(M N )
Remarque 1.6. Pour appliquer la réciproque,
1. Bien vérifier l’ordre des points pour identifier une figure de Thalès pamri les trois cas vu dans l’activité
informatique.
2. Lors des calculs, prendre les valeurs exactes des longueurs données en hypothèse.
1.4
1.4.1
Applications
Montrer que deux droites sont parallèles
– Les droites (QR) et (HK) sont-elles parallèles ?
P
Q
R
K
H
Hypothèses
–
–
–
–
–
–
P Q = 3 cm
P R = 6 00
P H = 4 00
P K = 8 00
P, Q et H sont alignés.
P, R et K sont alignés.
Calculons
PH
.
PQ
PH
4
= , (1)
PQ
3
3
Calculons
PK
.
PR
PK
8
4
= = , (2)
PR
6
3
Des égalités de rapport notées (1) et (2), je déduis que :
PH
PK
=
PQ
PR
D’après la réciproque du théorème de Thalès,
(HK)//(QR)
Donc, les droites (HK) et (QR) sont parallèles
1.4.2
Montrer que deux droites ne sont pas parallèles
– Les droites (QR) et (HK) sont-elles parallèles ?
P
K
H
R
Q
Hypothèses
–
–
–
–
–
–
P Q = 10 cm
P R = 15 00
P H = 8 00
P K = 11 00
P, Q et H sont alignés.
P, R et K sont alignés.
Calculons
PH
.
PQ
PH
8
3×8
24
=
=
=
, (1)
PQ
10
3 × 10
30
Calculons
PK
.
PR
PK
11
11 × 2
22
=
=
=
, (2)
PR
15
15 × 2
30
Des égalités de rapport notées (1) et (2), je déduis que :
PH
PK
6=
PQ
PR
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites(HK) et (QR) ne sont pas parallèles
4