Conséquence du théorème de Thalès Réciproque du théorème de
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Conséquence du théorème de Thalès Réciproque du théorème de
3e Thalès 1/2 Conséquence du théorème de Thalès Réciproque du théorème de Thalès I. Conséquence du théorème de Thalès 1. Enoncé Propriété : (contraposée du théorème de Thalès) Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de la droite (d) distincts du point A. Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts du point A. ெ ே Si ≠ , alors les droites (BC) et (MN) NE sont PAS parallèles. 2.Utilisation pour démontrer que deux droites NE sont PAS parallèles Exemple : On considère la figure ci-contre pour laquelle : AB = 3 cm ; AM = 9 cm ; AN = 7 cm et AC = 2cm ; Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Les droites (CN) et (BM) sont sécantes en A. De plus : ெ ଽ D’une part = =3 D’autre part ଷ ே = = 3,5 ଶ ெ ே On constate que ≠ Donc, par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. car si les droites étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux. II. Réciproque du théorème de Thalès 1. Enoncé Propriété : (réciproque du théorème de Thalès) Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de la droite (d) distincts du point A. Soient C et N deux points de la droite (d’) distincts du point A. ࡹ ࡺ Si = , et si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. 2/2 Remarque : Concernant l’ordre des points, on retrouve les trois configurations. Les points A,M,B et A,N,C sont alignés dans le même ordre. Les points A,B,M et A,C,N sont alignés dans le même ordre. Les points M,A,B et N,A,C sont alignés dans le même ordre. 2.Utilisation pour démontrer que deux droites sont parallèles La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que des droites sont parallèles. Exemple : On considère la figure ci-contre pour laquelle : AN = AN’= 2 cm, AM =3 cm, AB = 9 cm et AC = 6cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? On sait que les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A. De plus : ெ ଷ ଵ D’une part = = D’autre part ே ଽ ଶ = = ெ ଷ ଵ ଷ ே On constate que = De plus, les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Remarque : Constater l’égalité des rapports ne suffit pas, il faut aussi vérifier que les points sont alignés dans le même ordre. ெ ேᇲ ଵ Exemple : Dans l’exemple ci-dessus, on remarque aussi que : = = . ଷ Mais les points M, A, B et N’, A, C ne sont pas alignés dans le même ordre et Les droites (BC) et (MN’) ne sont pas parallèles.