fiche méthode les théorèmes de Thalès

METHODE D’UTILISATION DU THEOREME DE THALES
Théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d).
Soient C et N deux points de (d’).
AM
AN
MN
Si (MN) est parallèle à (BC) alors
=
=
AB
AC
BC
Le théorème de Thalès est utilisé pour calculer des longueurs et pour prouver
que des droites ne sont pas parallèles.
Méthode d’utilisation :
– Citer les deux droites sécantes
(ne pas utiliser le point d’intersection des sécantes pour
nommer les droites)
– Citer les deux droites parallèles
– Citer le théorème utilisé (sans l’énoncer)
– Ecrire l’égalité des trois quotients de longueurs
– Calculer la longueur demandée
(faire un produit en croix)
Exemple :
Sur la figure ci-dessous, les droites (BC) et (DF) sont parallèles.
On donne les longueurs BC = 4 ; CA = 3 ; AD = 3,5 ; AE 5,25.
Calculer AB et DE.
(BD) et (CE) sont sécantes en A
(BC) // (DF)
Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
AD
AE
DE
3,5
5,25
DE
=
=
=
=
AB
AC
BC
AB
3
4
Calcul de AB :
3,5
5,25
=
AB
3
donc AB =
3 × 3,5
=2
5,25
Calcul de DE :
5,25
DE
=
3
4
donc DE =
4 × 5,25
=7
3
METHODE D’UTILISATION DE LA RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES
Réciproque du théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d).
Soient C et N deux points de (d’).
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés
AM
AN
dans le même ordre et si
=
alors les
AB
AC
droites (MN) et (BC) sont parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès est utilisée pour prouver que deux droites
sont parallèles.
Méthode d’utilisation :
– Citer les deux droites sécantes
– Citer les points alignés dans le même ordre
– Calculer séparément les deux quotients de longueurs
et les comparer.
– Conclure en citant le théorème utilisé (sans l’énoncer)
Exemple 1 :
Sur la figure ci-dessous, on sait que : AI = 7 ; IB = 10,5 ; ID = 16,5 ; IC = 11.
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
(DB) et (AC) sont sécantes en I.
A, I, C et B, I, D sont alignés dans le même
ordre.
IA
7
IB
10,5
105
15 × 7
7
=
et
=
=
=
=
IC
11
ID
16,5
165
15 × 11
11
IA
IB
=
donc d’après la réciproque du
IC
ID
théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD)
sont parallèles.
Exemple 2 :
Sur la figure ci-dessous, on sait que : RS = 7 ; RE = 9 ; RT = 4 ; RF = 5
Les droites (ST) et (EF) sont-elles parallèles ?
(SE) et (TF) sont sécantes en R
R, S, E et R, T, F sont alignés dans le même
ordre
RS
7
RT
4
=
et
=
9
RF
5
RE
RS RT
≠
Si (ST) et (EF) étaient parallèles,
RE RF
RT
RS
=
. Ce n’est pas le cas, donc (ST) et
alors d’après le théorème de Thalès, on aurait
RF
RE
(EF) ne sont pas parallèles.