Contrôle : « Thalès et Pythagore »

3ème
2008-2009
Contrôle : « Thalès et Pythagore »
La présentation de la copie, la rédaction et l'orthographe sont prises en compte dans la notation.
Exercice 1 (1,5 points)
Pour chacune des figures, donne les quotients égaux sans justifier. On suppose ici que les droites représentées par un trait
épais sont parallèles.
1/
2/
P
3/
E
O
E
L
P
A
I
G
N
T
S
I
A
C
O
M
Exercice 2 (5 points)
Pour ces deux questions, justifie le mieux possible tes réponses.
1/ Les droites OM  et UJ  sont parallèles. Calcule
la longueur OM sachant que MP=3,5 cm , PU =5 cm
et UJ=6 cm .
2/ On sait que DO=9 cm , OC=4,5 cm , OB=12 cm et OA=6cm . Les droites
AB  et DC  sont-elles parallèles ?
Exercice 3 (6 points) Justifie le mieux possible tes réponses
Soit un triangle BAC rectangle en A tel que AB=6cm et AC =8cm .
1/
a. Construire le triangle ABC .
b. Calculer BC .
2/
a. Placer le point E sur le segment [ AB ] tel que BE=1,5cm . Placer le point
que BF =2,5 cm .
b. Montrer que les droites  AC et EF  sont parallèles.
c. Calculer EF .
P
U
J
D
A
O
B
C
F sur le segment [CB] tel
Exercice 4 (6 points)
Les droites EF  et MP sont parallèles.
On sait que AM =6 cm ; MP=4,8cm ; AP=3,6 cm ; EF=6 cm ; AC =4,5 cm et AB=7,5 cm .
1/ Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle (justifie !).
A
M
2/ Calculer AE puis la longueur ME (seul le détail des calculs est demandé dans cette
E
question).
3/ Démontrer que les droites MP et BC sont parallèles (seul le détail des calculs et la
conclusion sont demandés dans cette question).
P
F
C
B
3ème
2008-2009
Correction
Exercice 1 (2 points)
1/
PO PI OI
=
=
PN PT NT
2/
AE AI EI
=
=
AS AP PS
3/
GA GL AL
=
=
GC EG EC
Exercice 2
1/ Les droites OJ  et MU  sont sécantes en
appliquer le théorème de Thalès :
PO PM OM
=
=
PJ PU UJ
3,5 OM
=
5
6
6×3,5
OM=
5
OM=4,2 cm
P . Les droites OM  et UJ  sont parallèles. On peut donc
2/ Calculons séparément :
OB 12 4
OA
6 12 4
= =
=
= =
OD 9
3
OC 4,5 9 3
OB OA
=
On remarque que
et que les points O, B , D d'une part et O, A ,C sont alignés dans le même ordre.
OD OC
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites AB  et DC  sont parallèles.
Exercice 3
1/
a. Figure à l'échelle ½
b. ABC est un triangle rectangle en A , on peut donc appliquer le
théorème de Pythagore :
BC² =AB² AC²
BC² =6²8²
BC² =100
BC=  100
BC=10 cm
2/ Calculons séparément :
BE 1,5 1
BF 2,5 1
=
= =0,75
= = =0,75
BA
6 4
BC 10 4
BE BF
=
On remarque que
et que les points B , E , F d'une part et
BA BC
B , F , C sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du
théorème de Thalès, les droites EF  et AC  sont parallèles.
3/ Les droites BC et BA sont sécantes en A . D'après la
question précédente, les droites EF  et AC  sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès : on
BE BF EF
1,5 EF
8×1,5
=
=
=
obtient successivement
;
; EF =
et EF =2 cm .
BA BC AC
6
8
6
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2008-2009
Exercice 4
1/ Calculons séparément :
AP² PM²=3,6²4,8²=36
•
AM² =6²=36
•
On remarque que AM² =AP² PM² . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut conclure que le triangle
AMP est rectangle en P .
2/ AE = EF
AM MP
AE
6
=
6
4,8
6×6
AE=
4,8
AE=7,5 cm
ME= AE−AM
ME=7,5−6
ME=1,5 cm
3/ Calculons séparément :
AC 4,5
AB 7,5
=
=1,25
= =1,25
AP 3,6
AM 6
Donc d'après le réciproque de Thalès, les droites CB et MP sont parallèles.