Correction Contrôle de Mathématiques n°3

3A
17 décembre 2008
Correction Contrôle de Mathématiques n°3
Exercice 1: (4 points)
1. Déterminer le PGCD des nombres 182 et 78.
On utilise l'algorthme d'Euclide :
182 = 78 × 2 + 26
78 = 26 × 3 + 0
Le dernier reste non nul est 26, donc le PGCD de 182 et 78 est 26.
2. Ecrire
sous forme d’une fraction irréductible en justifiant.
On sait que pour rendre une fraction irréductible il faut et il suffit de diviser le numérateur et le
dénominateur par leur PGCD d’où :
78
3
182 7
Pour le 1er Mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
3. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses et elle veut faire le plus grand nombre
de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Ce nombre sera donc le PGCD de
182 et 78.
182 = 78 × 2 + 26
Donc PGCD(182 ;78) = 26
78 = 26 × 3 + 0
Julie pourra faire 26 bouquets.
4. Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Dans chaque bouquet il y aura 7 brins de muguet et 3 roses.
Exercice 2: (4 points)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise
en compte dans l’évaluation.
« Le nombre caché :
• Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400.
• Je suis pair.
• Je suis divisible par 11.
• J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur.
Qui suis-je ? »
Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur.
Soit x le nombre caché il peut s’écrire : x = 11× 3 × 2 × k où k est un nombre entier positif différent
de 0.
x = 165 × k
165 ×1 = 165
Donc le nombre
n
x peu
ut-être 165 × 2 = 330
165 × 3 = 495...
Mais x estt compris en
ntre 100 et 4000, il n’y a donc
d
que 2 deux
d
possibillités : 165 et
e 330.
Enfin x esst un nombree pair donc x = 330 .
Exercice 3 : (6 points)
L'unité esst le centimètre.
Dans la fiigure ci-desssous, les droiites (AB) et (CD)
(
sont
parallèles.
Les droitees (AD) et (B
BC) se coupeent en E.
On donnee DE = 6, AE
E = 10, AB = 20 et BE = 16.
1. Lees droites (AD
D) et (BC) se
s coupent enn E.
Dee plus les dro
oites (AB) ett (CD) sont parallèles.
p
D
Donc
d’après la propriétéé de Thalès on
o peut
éccrire
ED EC
C CD
=
=
EA EB
B AB
6 CD
=
10 20
6 × 20
CD =
= 12cm
100
2. Lees points F et
e G appartiennent respecctivement auux segments [BC] et [AB
B].
BG 166 4
Calculons d’une part
p
= ,
=
BA 20 5
BF 12,8 1288 128 ÷ 32 4
D’autrre part
=
=
=
=
BE
16 1600 160 ÷ 32 5
D’après la récipro
oque de la prropriété de Thalès
T
les drooites (FG) ett (AE) sont parallèles.
p
Exercice 4 :
(6 po
oints)
Voici le scchéma simpliffié du
fonctionneement d’un ap
ppareil
photographhique : un objjet [AB] situé à
une distancce d de l’objeectif O a une
image [A’B
B’] sur la pelllicule située à la
distance d’ de O.
1. Prrouver que less droites (AB)) et (A’B’) sonnt parallèles.
(AB
B) et (A’B’) sont
s
toutes less deux perpenndiculaires à la
l droite (AA’’).
Saachant que si deux
d
droites sont
s
perpendiiculaires à unee même troisiième elles sonnt parallèles entre
e
ellles alors (AB) et (A’B’) sonnt parallèles.
2. Déémontrer l’ég
galité :
d
AB
.
=
d ' A' B '
Ceci est une configuration de Thalès. Les droites (AA’) et (BB’) se coupent en O et les droites (A’B’)
et (A’B’) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès on peut donc écrire :
OA ' OB ' A ' B '
=
=
OA OB
AB
d ' A' B '
=
d
AB
d
AB
=
d ' A' B '
3. Pour un certain appareil, d’ = 50 mm. Un sapin d’une hauteur de 12 m se trouve à 15 m de l’objectif.
Quelle est la hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule ?
D’après l’expression précédente on a donc :
15 ×1000 12 × 1000
=
A' B '
50
12 ×1000 × 50
A' B ' =
15 × 1000
600
A' B ' =
15
A ' B ' = 40
La hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule est de 40 mm.