Correction

Table des matières des corrections
Correction du Chapitre 1 ................................................................................................................................... 2
Sujet 1 :..................................................................................................................................................... 2
Sujet 2 :..................................................................................................................................................... 2
Sujet 3 :..................................................................................................................................................... 3
Correction du Chapitre 2 ................................................................................................................................... 6
Sujet 1 :..................................................................................................................................................... 6
Sujet 2 :..................................................................................................................................................... 6
Sujet 3 :..................................................................................................................................................... 7
Sujet 4 :..................................................................................................................................................... 8
Correction du Chapitre 3 ................................................................................................................................... 9
Sujet 1 :..................................................................................................................................................... 9
Sujet 2 :................................................................................................................................................... 10
Sujet 3 :................................................................................................................................................... 12
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Correction du Chapitre 1
Sujet 1 :
Pour convertir le volume de la dune du Pyla, je convertis 1 m3 en mm3 :
m3
1
0
dm3
0
0
0
cm3
0
0
0
mm3
0
0
Je remarque que 1 m3 = 1 × 109 mm3
La dune est constituée de 60 × 106 m3 de sable.
Donc 60 × 106 m3 égale en mm3 : (60 × 106 m3) × (1 × 109 mm3) = 60 × 1015 mm3
Le volume total de la dune du Pyla en mm3 est : 60 × 1015 mm3
Je divise ce volume par le volume occupé par un grain de sable soit 10-3 mm3 :
15
60  10
= 6 × 1018
-3
10
Le nombre approximatif de grains de sable qui forment la dune du Pyla est 60 × 1018
L’écriture scientifique du nombre approximatif de grains de sable qui forment la dune du Pyla est 6 × 1019.
Sujet 2 :
1° génération
Charles et Yasmina
On voit que le couple a 3(= 31 ) descendants
2)2° génération
On voit que le couple a 9(= 32 ) descendants.
 On aperçoit que à chaque génération l’exposant augmente de un en un à chaque génération ( 31
32 ).
 On a donc un exposant pour chaque génération.
En suivant ce principe là, j’en déduis donc que à la 10° génération le couple aura donc 310 descendants. Ce qui
donne 59 049 descendants.
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Arthur et Mélusine
1°généartion
On voit que le couple a
2(= 21 ) descendants.
2°génération
On voit que le couple a
4(= 22 ) descendants.
 On a toujours la même configuration dans laquelle l’exposant augmente de 1 en 1 à chaque
génération ( 21
22 ).
 On a donc toujours un exposant pour chaque génération.
En suivant ce principe là, j’en déduis donc que à la 10° génération le couple aura donc 210 descendants. Ce qui
donne 1 024 descendants.
2) En poursuivant avec ce principe vérifions combien de descendants auront Arthur et Mélusine dans 13
générations.
Sachant que dans ce couple a eu 3 enfants et que chacun de leurs descendants ont eu aussi à leurs tours 3
enfants :
La famille à la 13° génération comportera 313 individus soit 1 594 323 individus .
Sujet 3 :
1) Calcul de AC. Quelle est la nature de ACNR ?
1 /6 dm
A
C
1 /24 dm
B
Je sais que les points A, B, C sont alignés
donc :
AC  AB  CB
1 1
AC  
6 24
4
1
AC 

24 24
3 1
AC 

24 8
J’en déduis que le segment [AC] est égal à
R
N
M
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1
dm.
8
Je sais que ACNR est un rectangle avec 2 côtés
consécutifs de même mesure :
Or un rectangle ayant 2 côtés consécutifs de même
mesure est un carré.
J’en déduis que ACNR est un carré
2) Calcul des périmètres de ACNR et de CBMN.
RCM est un carré .
Le périmètre d’un carré est égal à : côté  4
1 4 1
PACNR  4   
8 8 2
Le périmètre du carré ACNR est
1
dm.
2
CBNM est un rectangle :
Le périmètre d’un rectangle est égal à :
(Longueur x 2) + (largeur x 2)
1
1
PCBNM  2   2 
8
24
2 2
PCBNM  
8 24
6
2
PCBNM 

24 24
8 1
PCBNM 

24 3
3) Calcul de l’aire de RCM
RCM est un triangle :
L’aire d'un triangle est égal à :
base  Hauteur
2
ARCM
1 1
1

1 1 1
 6 8  48   
2
2 48 2 96
L'aire du triangle RCM est égale à
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1
dm²
96
Sujet 4 :
Je décompose
Je calcul
en
qui me donne le même résultat.
qui donne 33554432.
Je prends le chiffre de l’unité : 2 et je l’élève carré ce qui nous donne
Donc
se termine par le chiffre est 4.
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qui est égal a 4.
Correction du Chapitre 2
Sujet 1 :
Je sais que : le triangle ABC est tel que :
AB = 3x+9
BC = 4x+12
CA = 5x+15
Comparons AB²+BC² et AC² :
AB²+BC² = (3x+9)²+(4x+12)²
= 9x²+54x+81+16x²+96x+144
= 25x²+150x+225
AC² = (5x+15)²
= 25x²+150x+225
Je remarque que : AB²+BC² = AC²
Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
nous en concluons que le triangle ABC est rectangle en B.
Sujet 2 :
ABCD est un carré de côté 2a. Chaque côté du carré est le diamètre d’un demi-cercle de cette figure.
Montrons que l’aire de la partie coloriée est 2  4a2 .
Déterminons dans un premier temps l’aire des 2 zones blanches de la figure ci-dessous:
Aire du carré ABCD = 4a²
Aire d’un disque rose=  a 2
Aire 2 parties blanches = Aire du carré – Aire partie rose
= 4a 2  a 2
 4a 2   a 2
 (4   ) a 2
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Revenons à notre figure initiale
Aire du carré ABCD = 4a²
Aire 2 parties blanches = (4   )a 2
Calculons l’aire de la partie colorée de la figure ci-dessus:
A coloriée =Aire du carré – Aire 4 parties blanches
 4a 2

2(4   ) a 2
 4a 2

8a 2  2 a 2
 4a 2  2 a 2
 ( 4  2 ) a 2
L’aire de la partie rose est bien égale à 2  4a2 .
Sujet 3 :
1)
Étape 1 : choix du nombre
Étape 2 : ajouter 7
Étape 3 : Multiplier le résultat par 5
Étape 4 : Soustraire 35 au résultat
Détail
8
8+7
15 × 5
75 - 35
2)
Étape 1 : choix du nombre
Étape 2 : ajouter 7
Étape 3 : Multiplier le résultat par 5
Étape 4 : Soustraire 35 au résultat
8
15
75
40
On obtient
8
15
75
40
4
11
55
20
3) On remarque que l’on obtient toujours des multiples de 5.
4) On peut le démonter :
[( x  7)  5] - 35  (5 x  35) - 35
 5 x  35 - 35
 5x
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5
12
60
25
x
x+7
(x + 7) × 5
[(x + 7) × 5] - 35
Sujet 4 :
1) 2)
étape 1
étape 2
étape 3
étape 4
étape 5
Résultat
5
5-2=3
3² = 9
9+4x5 = 29
29 - 4 = 25
25
2
2-2=0
0² = 0
0+2x4=8
8-4=4
4
3
3-2=1
1² = 1
1+4x3=12
12 - 4 = 9
9
Nous pouvons donc conjecturer que pour l’instant, le résultat de n’importe quel nombre est toujours égal au
carré de ce nombre.
3)
( x - 2)²  4 x - 4  x ² - 4 x  4  4 x - 4  x ²
Nous avons démontré que le résultat de n’importe quel nombre sera toujours égal au carré de ce nombre.
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Correction du Chapitre 3
Sujet 1 :
1) Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
On considère la figure ci-dessus pour laquelle :
AF=12 cm, AC = 5 cm, AB = 7,5 cm et AE = 8 cm.
Comparons
AB
=
AF
AB
et
AF
7,5
5
=
et
1
8
AC
.
AE
AC
=
AE
5
.
8
Je constate que :
AB AC

AF AE
De plus les points E, A, C et F, A, B sont alignés dans le même ordre donc d’après la réciproque du théorème
de Thalès, nous concluons que (BC) // (EF).
2) Calculer la longueur EF sachant que BC= 5,5cm. Justifier la réponse.
Je sais que les points E, A, C sont alignés ainsi que les points F, A, B, (EF) // (BC).
AF AE FE
Donc, d’après le théorème de Thalès, je peux écrire :


AB AC BC
12 8 FE
Ainsi :
 
7,5 5 5,5
8 FE
Pour calculer FE, j’utilise en particulier : 
.
5 5,5
8  5,5
Donc : FE 
 8,8
5
Le segment [EF] mesure 8,8 cm.
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3) Le triangle ABC est il rectangle en C ? Justifier la réponse.
ABC est un triangle.
Comparons AB² et AC²+ BC² :
AB ²  7,5²  56, 25 et AC²+BC² = 5²+5,5² = 52,5625
AB²= 7,5² = 56,25 et AC²+BC² = 5²+5,5² = 5,25.
Je constate que : AB ²  AC ²  BC ² AB² ≠ AC² + BC².
Donc, d’après une conséquence du Théorème de Pythagore ,
j’en déduis que le triangle ABC n’est pas rectangle.
Sujet 2 :
Dans le triangle AEC :
Je sais que : les droites (DF) et (CE) sont
perpendiculaires à la droite (AE)
Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
droite, alors elles sont parallèles entre elles.
J’en déduis que : (DF)//(CE)
Je sais que : les points A,F,E ainsi que les points A,D,C
sont alignés. Les droites (DF) et (CE) sont parallèles.
Or :
D’après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire
que :
AF AD DF


AE AC CE
J’en déduis que : AF  AC  AD  AE
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Dans le triangle ABD
Je sais que : les droites (GE) et (DB) sont
perpendiculaires à la droite (AD).
Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
droite, alors elles sont parallèles entre elles.
J’en déduis que : (GE)//(DB).
Je sais que : les points A,E,B ainsi que les points
A,G,D sont alignés. Les droites (GE) et (DB) sont
parallèles.
Or : D’après le théorème de Thalès, nous pouvons
écrire que :
AE AG GE


AB AD DB
J’en déduis que : AB  AG  AD  AE
Les égalités AB  AG  AD  AE  AF  AC sont vérifiées
2)
Je sais que :
AG  AB  AC  AF
AG AF
Donc:

AC AB
Les points A,G et E ainsi que les points A,F et B sont
alignés dans le même ordre.
Alors, d’après la réciproque du théorème de Thalès,
nous concluons que les droites (FG) et (BC) sont
parallèles.
Nous avons démontré que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
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Sujet 3 :
1) Je sais que :
Les points B, P, A sont alignés ainsi que les points B, M, C ; ls droites (MP) et (AC) sont parallèles.
Appliquons le Théorème de Thalès :
Soit :
BP BM PM


BA BC
AC
donc
BP x PM
 
7
8 11
Exprimons MP en fonction de x :
x MP
Utilisons en particulier : 
soit
8 11
11x
MP 
8
Je sais que :
Les points C, M, B sont alignés ainsi que les points C, Q, A ; les droites (MQ) et (AB) sont parallèles.
Appliquons le Théorème de Thalès :
Soit :
CM CQ MQ
8  x CQ MQ
donc




CB CA BA
8
11
7
Exprimons MQ en fonction de x :
8  x MQ
Utilisons en particulier :

soit
8
7
7(8  x)
MQ 
8
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2)
Résolvons l’équation MP  MQ  9 avec MP 
11x
7(8  x)
et MQ 
8
8
MP  MQ  9
11x 7(8  x)

9
8
8
11x 7(8  x) 72


8
8
8
11x  7(8  x )  72
11x  56  7 x  72
4 x  72  56
4 x  16
16
x
4
x4
La solution de l’équation est 4.
Pour que MP + MQ soit égal à 9, le point M doit être situé à 4 cm du point B, soit au milieu du segment [BC]
(sur le segment).
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